11、覆盖粗糙集与粗糙有限状态机的代数结构研究

覆盖粗糙集与粗糙有限状态机的代数结构研究

1. 覆盖数的定义与性质

1.1 覆盖数的定义

覆盖数分为上覆盖数和下覆盖数。对于一个集合 (U) 的覆盖 (C)，以及 (U) 的子集 (X)，上覆盖数 (N^ (X|C)) 定义为能覆盖 (X) 的 (C) 中元素的最小数量，下覆盖数 (N_ (X|C)) 定义为能被 (X) 包含的 (C) 中元素的最大数量，具体公式如下：
- (N^ (X|C) = \min{|B| | (X \subseteq \bigcup B) \land (B \subseteq C)})
- (N_ (X|C) = |{K \in C | K \subseteq X}|)

当不会引起混淆时，(N^ (X|C)) 简记为 (N^ (X))，(N_ (X|C)) 简记为 (N_ (X))。

1.2 示例

设 (U = {a, b, c, d})，(K_1 = {a, b})，(K_2 = {a, c})，(K_3 = {b, c})，(K_4 = {d})，(C = {K_1, K_2, K_3, K_4})，(X = {a, d})，(Y = {a, b, c})。
- 对于 (X)，能覆盖它的 (C) 的子集有 (B_1 = {K_1, K_4})，(B_2 = {K_2, K_4}) 等，所以 (N^ (X) = \min{|B_i| | 1 \leq i \leq 6} = 2)，(N_ (X) = |{K \in C | K \subseteq X}| = |{K