5、量化布尔求解在成就游戏中的应用

量化布尔求解在成就游戏中的应用

在游戏研究领域，量化布尔公式（QBF）求解在成就游戏分析中具有重要意义。下面将详细介绍成就游戏的相关概念、不同编码方式以及实验结果。

1. 游戏基础概念

在一个 $N × N$ 的正方形规则棋盘上进行游戏，目标形状由多联骨牌（或方形动物）的旋转和反射形成，多联骨牌是边相连的单元格集合。若先手（黑方）有获胜策略，该目标形状对应的“动物”被称为胜者，否则为败者。通过经典的策略窃取论证可知，白方实际上不存在获胜策略，因为黑方可以假装棋盘上已有白方棋子，按照白方可能的策略来下棋。所以，当黑方没有获胜策略时，白方有确保平局的阻挡策略。

Harary 研究发现，当棋盘足够大时，有 11 种“动物”是胜者，除一种未确定情况外，其他都是败者。对于败者，白方有多米诺铺砌策略，即将棋盘划分为 2 单元格的多米诺骨牌，使得棋盘上的任何目标“动物”至少包含其中一个多米诺骨牌。白方的阻挡策略就是在包含黑方上一步落子的多米诺骨牌的第二个单元格落子，以此阻止黑方获胜。

未确定的情况是名为“Snaky”的形状，Harary 猜想它是胜者，且至少在 15 × 15 及更大的棋盘上是这样，但这个问题至今仍未解决。不过，已有研究表明，在 7 × 7 和 8 × 8 的棋盘上，通过分支 - 切割算法找到白方的明确获胜策略，证明了“Snaky”是败者。

2. 相关工作

QBF 研究界对游戏编码给予了一定关注。例如，有研究将四子连珠游戏用 QBF 表示，用布尔变量表示游戏配置和每一轮的移动，最多到 $k$ 轮。由于固定棋盘大小下有最大轮数，$k$ 设为该值。每一轮使用一个游戏结束变量来确定获胜的先手玩家。最后，存在（全称）量词表