4、循环矩阵与成就游戏的量化布尔求解

循环矩阵与成就游戏的量化布尔求解

1. 简单匹配循环矩阵

为简化问题，在处理κ - 循环基的一般情况之前，先考虑标准循环矩阵（κ = 1）的情况。为找到使方差最大化的基，我们类似主成分分析（PCA）来构建一个约束线性优化问题。不过，这里我们寻找的不是单个向量，而是一个循环矩阵G（滤波器），它要解决以下问题：
[
\max_{g\in R^W} \left{|GX| F^2\right}
]
[
\text{s.t. } |g|_2^2 = 1
]
其中，(|\cdot|_F) 表示弗罗贝尼乌斯范数，且
[
G = \sum {w = 0}^{W - 1} g_wP_w
]
根据相关公式，G是一个系数为g的有限脉冲响应（FIR）滤波器。因此，上述优化问题也可理解为设计一个FIR滤波器，使传输能量最大化。该问题对应的拉格朗日函数为：
[
L(g, \lambda) = \sum_{\nu = 1}^{N} \langle \sum_{w} g_wP_wx_{\nu}, \sum_{w} g_wP_wx_{\nu} \rangle - \lambda \left( g^Tg - 1 \right)
]
[
= \sum_{\nu = 1}^{N} x_{\nu}^T \left( \sum_{w} g_wP_{-w} \right) \left( \sum_{w} g_wP_w \right) x_{\nu} - \lambda \left( g^Tg - 1 \right)
]
拉格朗日函数关于 (g_k) 的导数为：