76、高效求解并行机器调度与背包问题的算法研究

高效求解并行机器调度与背包问题的算法研究

在计算机科学领域，并行机器调度和背包问题是两个经典且重要的问题。并行机器调度旨在合理分配任务到多个并行的机器上，以优化某些性能指标；而背包问题则是在给定容量的背包中选择物品，使得所选物品的价值总和最大。本文将介绍解决这两个问题的相关算法及其特性。

并行机器调度问题的求解

对于并行机器调度问题，关键在于解决 MILPr(t)。这个问题仅包含常数数量的整数变量（数量为(2^{O(\mu \log \log \mu)})），可以通过 Kannan 算法在多项式时间内求解。然而，该算法的运行时间远非线性。为了达到理想的运行时间，需要进一步修改 MILPr(t)，减少其分数变量的数量。

有引理表明，存在一种算法能够在(f(1/\epsilon) + O(n \log n \log \log n))时间内解决 MILPr(t)，其中(f(1/\epsilon) = 2^{O(1/\epsilon^2 \log^2(1/\epsilon) \log \log(1/\epsilon))})。结合其他引理，相关定理得以证明。

背包问题的求解

问题背景

背包问题是一个经典的 NP 完全问题，其目标是判断给定的一组具有重量和价值的物品集合中，是否存在一个子集，使得该子集中物品的重量总和不超过给定的正整数(W)，且价值总和至少为给定的正整数(V)。

传统上，使用动态规划可以在伪多项式时间(O(nW))内解决背包问题，但这种方法需要伪多项式空间(O(n + W))。随着(W)的增加，计算机内存会在运行时间变得难以忍受之前耗尽，导致算法不实用。

为了解决这个问