61、参数化并行复杂度与配对堆相关研究

参数化并行复杂度与配对堆相关研究

1. 参数化并行复杂度相关问题

在参数化并行复杂度的研究中，有多个重要问题值得探讨。

首先是最大匹配问题。当交替奇环经过特定类型的边时，会出现一种被称为“花结构”的情况。花结构包含至少一条匹配边和三个节点，我们可以将花结构收缩为一个顶点，新得到的图的最大匹配基数最多为 (k - 1)，其中 (k) 是所寻求最大匹配大小的上界。通过这种方式，使用 (O(m)) 个并行处理器，构建最大匹配最多需要 (k) 轮，运行时间为 (O(k · log^3 n))，这里 (m) 是边的数量，(n) 是输入图的顶点数量。由此得出，以匹配大小的上界为参数的最大匹配问题属于固定参数并行可处理（FPPT）类。

接着是单调电路值（MCV）问题。布尔电路是由非门、与门和或门组成的有向无环图，电路值问题（CVP）是在给定输入下评估布尔电路的问题，它在对数空间约简下是 P 完全问题。CVP 有一些受限的变体，如平面电路值（PCV）问题，其电路的底层图是平面的；单调电路值（MCV）问题，电路仅包含与门和或门；以及同时满足平面和单调的 PMCV 问题，该问题属于 NC 类。对于一般的 MCV 问题，当底层图受常数欧拉亏格 (k) 限制时，使用 (O(n^c)) 个并行处理器（(O(n^c)) 是并行矩阵乘法的最佳处理器边界），可以在 (O((k + 1) · log^3 n)) 时间内评估电路，所以有界欧拉亏格 (k) 的单调电路值问题也属于 FPPT 类。

FPPT 类是一类可高效并行化的参数化问题。与 PNC 或 FPP 类中的问题不同，FPPT 类问题必须由与参数 (k) 无关的多项式数量的处理器来解决，因此它不仅在理论上有高效的并行算法，在实践中也具有