50、图作为三角形覆盖接触图的可实现性

图作为三角形覆盖接触图的可实现性

在图论领域，将图表示为三角形覆盖接触图（Triangle Cover Contact Graphs，TCCG）是一个有趣且具有实际应用价值的研究方向。本文将探讨几种不同类型的图，包括哈林图（Halin Graphs）、超哈林图（Super - Halin Graphs）、哈密顿图（Hamiltonian Graphs）和网格图（Grid Graphs），在给定直线上的种子集的情况下，作为 TCCG 的可实现性。

1. 相关图的基本概念

• 二维网格图 ：也称为方形网格图，是路径图 $P_a$ 和 $P_b$ 的笛卡尔积 $G_{a,b}=P_a\times P_b$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是顶点数。当 $a = b$ 时，就是一个正方形网格图。

2. 哈林图作为 TCCG 的可实现性

• 定理 1 ：设 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点的哈林图，$S$ 是排列在一条直线上的 $n$ 个种子的集合。那么 $G$ 可以在 $S$ 上以 $O(n\log n)$ 的时间复杂度实现为 TCCG。
• 证明步骤 ：
  1. 构建有序根树 ：设 $G=(V, E)$ 是一个哈林图，其核心树为 $T$。选择 $T$ 的任意一个叶子节点作为根，按逆时针顺序排列每个顶点的子节点，得到一个有序根树。通过前序遍历得到 $T$ 的顶点排序 $O = v_1, v_2, \cdots, v_n$，其中 $v_1$