12、部分VC维度的近似性研究

部分VC维度的近似性研究

在离散结构的研究中，识别问题一直是一个重要的课题。今天，我们将深入探讨与超图相关的几个关键问题，包括VC维度、区分横截以及新引入的部分VC维度问题，并重点研究最大部分VC维度问题的近似复杂度。

基本概念介绍

首先，我们来了解一些基础概念。考虑一个超图 (H = (X, E))，其中 (X) 是顶点集，(E) 是超边集，也就是 (X) 的子集。对于顶点子集 (C \subseteq X)，如果 (C) 中的某个元素恰好属于 (E) 中的两条超边之一，那么我们称这两条超边被 (C) 区分（或分离）。基于此，若两条超边与 (C) 的交集相同，则称它们是相关的，这就形成了一个等价关系，由此可以确定由 (C) 诱导的等价类集合，我们称之为邻域等价类。

在这个领域中，有两个经典问题备受关注。

VC维度

• 定义 ：输入为超图 (H = (X, E)) 和整数 (k)，问题是在 (H) 中是否存在大小至少为 (k) 的破碎集 (C \subseteq X)。破碎集是指能诱导出所有可能的 (2^{|C|}) 个等价类的集合。一个超图 (H) 中破碎集的最大大小被称为其Vapnik - ˇCervonenkis维度（简称VC维度）。
• 复杂度 ：该问题是复杂度类LOGNP的完全问题，在图的邻域超图中仍然是LOGNP完全的。

区分横截

• 定义 ：输入为超图 (H = (X, E)) 和整数 (k)，问题是是否存在大小至