21、图的维度参数与计算复杂度研究

图的维度参数与计算复杂度研究

维度的局部性

在图论中，我们先考虑一些简单的情况。当图 (H) 为空图时，(K_1⊙H) 是一个星图，且其局部维度 (\text{dim}_l(K_1⊙H) = 1)。若 (H) 是阶为 (n) 的完全图，那么 (K_1⊙H) 是阶为 (n + 1) 的完全图，(\text{dim}_l(K_1⊙H) = n)。

对于连通的非平凡图 (G) 和空图 (H)，有 (\text{dim} l(G ⊙H) = \text{dim}_l(G))。以下是一些重要定理：
- 定理 8 ：对于阶 (n \geq 2) 的连通图 (G) 和非平凡图 (H)，(\text{dim}_l(G ⊙H) = n · \text{dim} {A,l}(H))。
- 定理 9 ：设 (G) 是阶 (n \geq 2) 的连通图，(H) 是非平凡图。若存在 (H) 的局部邻接基 (S)，使得对于每个 (v \in V(H) - S)，都有 (S \nsubseteq N_H(v))，则 (\text{dim} {A,l}(G⊙H) = n·\text{dim} {A,l}(H))。
- 定理 10 ：设 (G) 是阶 (n \geq 2) 的连通图，(H) 是非平凡图。若对于 (H) 的任何局部邻接基 (S)，都存在 (v \in V(H) - S) 满足 (S \subseteq N_H(v))，则 (\text{dim} {A,l}(G ⊙H) = n · \text{dim} {A,l}