13、部分VC维度的近似性探讨

部分VC维度的近似性探讨

在图论和计算复杂性领域，VC维度及其相关问题一直是研究的热点。本文将深入探讨最大部分VC维度（Max Partial VC Dimension）的近似性，介绍相关算法和证明，并分析其复杂度。

1. 平面图的最大部分VC维度近似算法

设 $G$ 是一个具有 $t$ 层平面嵌入的平面图，目标是实现 $1 + ε$ 的近似比。令 $λ = ⌈1/ε⌉ - 1$。
对于 $0 ⩽ i ⩽ λ$，图 $G_i$ 是通过从 $G$ 中移除第 $i \bmod (λ + 1)$ 层的顶点得到的。图 $G_i$ 是若干子图 $G_{ij}$（$0 ⩽ j ⩽ p$，其中 $p = ⌈(t + i)/(λ + 1)⌉$）的不相交并集。其中，$G_{i0}$ 由第 $0$ 到 $i - 1$ 层的顶点诱导（注意 $G_{00}$ 为空），而 $j ⩾ 1$ 时的 $G_{ij}$ 由第 $(j - 1)(λ + 1) + i + 1$ 到 $j(λ + 1) + i - 1$ 层的顶点诱导。每个子图 $G_{ij}$ 是至多 $λ$ 个连续层的并集，因此是 $λ$-外平面图，其树宽至多为 $3λ - 1$。

使用Courcelle定理，对于任意整数 $t$ 和任意子图 $G_{ij}$，可以高效地确定 $G_{ij}$ 的 $t$ 个顶点的最优集 $S_{ij}^t$，该集能最大化 $G_{ij}$ 中非空诱导等价类的数量。然后使用动态规划为 $G_i$ 构造解。用 $S_i(q, y)$ 表示由 $G_i$ 的 $y$ 个顶点（$0 ⩽ y ⩽ k$）在 $G_{i1}$ 到 $G_{iq}$（$1 ⩽ q ⩽ p$）的前 $q$ 个子图中诱导的最大可行等价类数