40、混合参数估计算法：理论与应用

混合参数估计算法：理论与应用

1. 最大似然估计（MLE）的局限性

在参数估计领域，最大似然估计（MLE）是一种常用的方法。然而，它在处理某些问题时存在局限性。当使用不同的可变参数 ε 时，与 MLE 不同的是，我们提出的方法在 ε = 0 时同样适用。对于 α 和 β 的估计结果显示，我们的方法不仅能直接使用 ε = 0，而且在 ε > 0 较小时，对 ε 的选择不敏感。

MLE 在处理正确数据时具有统计效率，但它的结果可能对数据的扰动很敏感。特别是在使用 beta 分布进行建模时，MLE 的问题更为严重：似然函数在实际中合理的数据集上定义不明确，并且解决方案强烈依赖于为纠正第一个问题而引入的临时参数。

2. 用于 Beta 混合分布的 EM 算法

对于混合模型的参数 θ，包括每个组件的参数和混合系数，对数似然函数 (L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln f_{\theta}(x_i)) 通常有许多局部最大值，因此很难计算全局最优解。

EM 算法是一种用于不完全数据的最大似然参数估计的通用迭代方法。在混合模型中，“缺失”的数据是每个样本属于哪个组件的信息。这个信息可以在 E 步（期望步）中进行估计，然后在 M 步（最大化步）中用于分别为每个组件推导出更好的参数估计。

• E 步 ：为了估计每个组件 j 对每个数据点 (x_i) 的期望责任 (W_{i,j})，需要计算该组件在该数据点的相对概率，使得对于所有的 (i)，(\sum_{j} W_{i,j} = 1)。计算公式如下：
  [
  W_{i,j} = \frac{\p