欧拉函数的求法（线性筛）

最新推荐文章于 2022-04-11 22:04:06 发布

UMR小豪

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分类专栏：欧拉函数文章标签：数论欧拉函数

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欧拉函数计算正整数n与其互质的数的个数，如euler(8)=4。公式为euler(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)，其中pi为x的素因数。延伸：所有质因子之和是euler(n)*n/2。本文介绍两种实现方法，包括基于定义的直接实现和o(n)复杂度的线性筛法。

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欧拉函数

对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

那么如何变成实现欧拉函数呢？下面通过两种不同的方法来实现。第一种方法是直接根据定义来实现，同时第一种方法也是第二种筛法的基础。

第二种给出的是复杂度o(n)的线性筛。

//直接求phi
int get_phi(int c)
{
    LL ans = c;
    int m = sqrt(c+0.5);
    for(int i = 2; i <= m; ++i)
    {
        if(c % i == 0)
        {
            ans = ans/i*(i-1);
            while(c % i ==0)c/=i;
        }
    }
    if(c > 1)ans = ans/c*(c-1);
    return ans;
}
//线性筛法，快的飞起
bool vis[MAXN];
int prime[MAXN];
int phi[MAXN];
int tot;
void init()
{
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    phi[1] = 1;
    tot = 0;
    for(int i = 2; i < MAXN; i ++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[tot ++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j ++)
        {
            if(i * prime[j] >= MAXN) break;
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
            }
        }
    }
}

附上素数筛

void get_prim()
{
    for(int i = 2; i < MAXN; ++i)
    {
        if(!vis[i])prim[tot++] = i;
        for(int j = 0; j < tot; ++j)
        {
            if(prim[j]*i > MAXN)break;
            vis[i*prim[j]] = 1;
            if(i%prim[j] == 0)break;
        }
    }
}