[LeetCode]Climbing Stairs

Question
You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

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本题难度Easy。有3种算法分别是： 递归、迭代、数学公式

【思路】
这三种算法的思路都是一样的。设f(n)表示爬n阶楼梯的不同方法数，为了爬到第n阶楼梯有两种方法：

1. 从第n-1阶爬1步
2. 从第n-2阶爬2步

因此有f(n)=f(n-1)+f(n-2)，它是一个斐波那契数列。
由于递归法复杂度高（时间 O(1.618^N) 空间 O(N)），不推荐使用。

1、迭代法

【复杂度】
时间 O(N) 空间 O(1)

【代码】

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        //require
        int prev=0;
        int cur=1;
        //invariant
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int tmp=cur;
            cur+=prev;
            prev=tmp;
        }
        //ensure         
        return cur;
    }
}

2、数学公式法

【复杂度】
时间 O(1) 空间 O(1)

【附】
斐波那契数列的通项公式：

3、其他方法

这道题我开始做是使用了[LeetCode]Unique Paths的思路，将爬1步变换成行i，爬2步变换成列j，然后利用DP方法对所有i+j*2==n的值加到count中。

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        //require
        if(n<2)
            return 1;
        int rowSize=n+1;
        int colSize=n/2+1;
        int[][] dp=new int[rowSize][colSize];
        for(int i=0;i<rowSize;i++)
            dp[i][0]=1;
        for(int i=0;i<colSize;i++)
            dp[0][i]=1;
        int count=0;
        //invariant
        for(int i=1;i<rowSize;i++)
            for(int j=1;j<colSize;j++){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
                if(i+j*2==n)
                    count+=dp[i][j];
            }

        //ensure         
        if(n%2==0)
            return count+2;
        else
            return count+1;
    }
}

实际上是在求矩阵dp上某个斜边上所有点的值之和。该方法对于某个点的路径计算是最佳，但是对于本问题来说，比起斐波那契数列来说确实麻烦许多。