【数据结构笔记一】时间复杂度

目标

准备跟着邓俊辉的数据结构视频课学习，并配套写笔记，之后会一直更新

评价算法效率

评价算法效率两个重要概率时间复杂度和空间复杂度
1.时间复杂度：判断执行程序花费的时间。
2.空间复杂度：判断执行程序花费的存储空间。
一般主要考虑时间复杂度

时间复杂度

1.时间频度

时间频度就是程序中各个语句执行的次数，用T(n)表示，n是程序规模，n改变T(n)也就改变所以通过时间复杂度来判断n变化程序运行时间如何变化

2.时间复杂度

当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

3.大O记号法

同样地出于保守的估计，我们首先关注T(n)的渐进上界。为此可引入所谓“大O记号” （big-O notation）。具体地，若存在正的常数c和函数f(n)，使得对任何n >> 2都有 T(n) ， c∙f(n) 则可认为在n足够大之后，f(n)给出了T(n)增长速度的一个渐进上界。

计算时间复杂度

1.常数O(1)

int a = 1, b = 2; //执行了一次
cout<<a+b;  //执行了一次

T(n) =（1+1）=2，T(n)是一个常数，所以时间复杂度为O(1)，只要T(n)是常数时间复杂度就是O(1)

2.对数O(logn)

int n;   //执行一次
cin>>n;  //执行一次
int i = 1; //执行一次
while(i <= n) //执行log2n+1次
{
	i << 1;  //执行log2n次
}

i为1只要小于等于n每次都要左移一位，设循环执行次数为t，2^t<=n解得t=log2n，底数是个常数，T(n)=(log2n+1+1+1+log2n)=(2log2n+3)，大O记号法时常数忽略，所以时间复杂度为O(logn)

3.线性O(n)

int sum = 0; //执行1次
for(int i = 0; i < n; i++) //执行n+1次
{
	sum +=1; //执行n次
}

T(n) = （1+n+1+n）=(2n+2),所以时间复杂度为O(n)

4.平方阶 O(n^2)

for(int i = 0; i < n; i++)
	for(int j = i; j < n; j++)
	{
		cout<<"test"<<endl;
	}

外层执行n次，外层循环第一次执行时内层循环执行n次，外层循环第二次执行时内层循环执行n-1次，一直到外层循环第n次执行时内层循环执行1次，所以T(n)=n+n-1+n-2+…+1=(n+1)n/2=n^2/2+n/2,大O记号法时阶数低的直接被忽略，常数被忽略，所以时间复杂度为O(n²)

延伸

以上只是常用的时间复杂度还有很多，如下将时间复杂度大小列出
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)