陶哲轩实分析-第14章 一致收敛

14.1 函数的极限值

习题
14.1.1
根据函数极限值定义，第一个极限要求存在$\delta$只要$d(x_0,x)<\delta$，就有$d(f(x),L)<\varepsilon$，而第二个要求$0<d(x_0,x)<\delta$。
所以第一个极限能直接推出第二个
而如果第二个极限成立，只需要考虑$d(x_0,x)=0$的情况即可，而这种情况$f(x_0)-f(x_0)=0<\varepsilon$，证明完成。

14.1.2
(a)->(b)
根据定义，14.1.1，函数极限值在$x_0$存在并等于L，则对于$\varepsilon$，存在$\delta$，只要$d(x,x_0)<\delta$，就有$d(f(x),f(x_0))<\varepsilon$，而$x^{(n)}$收敛，则存在N，只要$n>N$，就有$d(x,x_0)<\delta$，就有$d(f(x^{(n)},L)<\varepsilon$

(b)->(c)
对于含L的任意开集V，存在$\varepsilon$，$B(L,\varepsilon)\subseteq V$。由于$f(x^{(n)})$收敛，所以存在N，满足如果n>N，则$d(f(x^{(n)}),L)<\varepsilon$，其中$x^{(n)}$是任意收敛到$x_0$的序列，根据(b)，只要$d(x,x_0)<\delta$即可，我们找到了$U=B(x_0,\delta)$。

(c)->(d)
在$x_0$点，有$\lim g(x)=g(x_0)=L$，根据连续函数定义证明完成。

(d)->(a)
g连续，所以$\lim f(x)=\lim g(x) = g(x_0)=L$

14.1.3
c->d
要证明g连续，需要证明$\lim f(x)=L$，也就是对于任意包含L的开集V，存在包含$x_0$的开集W满足如果$x\in W$则$f(x)\in V$，这就是c

d->c
如果g连续，那么根据拓扑收敛定义13.5.4，对于任意序列，L的任意领域V，存在N，当n>N，则$f(x^{(n)})\in V$，其中$x^{(n)}$是任意收敛的序列，也就是存在$x_0$的领域W。

如果拓扑空间是Hausdorff空间，根据习题13.5.4，极限值只能有1个，如果不是的话极限值可能有多个。

14.1.4
根据14.1.3意义
把$a_n$看做n的函数，那么极限存在就是$a_\infty=L$，也就意味着对于包含L的任意开集为$(a<L<b)$，存在含$\infty$的开集n，也就是$(N,\infty)$

根据13.5.4意义
包含L的任意开集为$(a<L<b)$，极限存在也就意味着存在N，满足如果$n\ge N$，则$a<a_n<b$。

14.1.5 类似证明很多了，略。

14.1.6 根据提示

14.2 逐点收敛于一致收敛

习题
14.2.1
$d(f_{a_n}(x),f(x))=d(f(x-a_n),f(x))$
等号左边是一致收敛的定义，右边是函数连续的定义，这就同时证明了(a)和(b)。

14.2.2
(a)对于每个$\varepsilon$，存在N使得对每个x都满足d(f(n)(x),f(x