陶哲轩实分析 5.4 节习题试解(5.4.1—5.4.4)

陶哲轩实分析 5.4 节习题试解(5.4.1—5.4.4)

5.4.1 证明命题 5.4.4

分两种情况讨论。

（1） $x = 0$
（2） $x \neq 0$

第一种情况下。 （a） 命题显然成立。只需（b） 和 （c） 命题不成立。

$x = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} a_n$
因为 $x = 0$
所以 $\forall \varepsilon > 0$ 存在一个 $N$，当 $n > N$ 时 $|a_n| < \varepsilon$
所以不存在任何的 $c > 0$ 满足对一切的 $n$ 都有 $a_n \geq c$ 或 $a_n \leq -c$
所以 （b）（c） 命题不成立。

第二种情况下。 $x = \mathsf{LIM}_{n \rightarrow \infty} a_n$，$x \neq 0$
所以 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 不与 $(0)_{n=0}^{\infty}$ 等价。
所以至少存在一个 $\varepsilon > 0$，对任意的 $N \geq 0$ 都能找到一个 $m > N$ 满足 $|a_m| > \varepsilon$。 这表明 $a_m > \varepsilon$ 或 $a_m < - \varepsilon$。

又因为 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 Cauchy 序列。
$\forall \varepsilon > 0$ 都能找到一个 $M \geq 0$ 使得任意 $i,j > M$ 都有 $|a_i - a_j| < \varepsilon / 2$
所以 $|a_i - a_m| < \varepsilon /2$

如果$a_m > \varepsilon$，那么 $\frac{\varepsilon}{2} < a_i < \frac{3 \varepsilon}{2}$， （b） 成立
如果$a_m < -\varepsilon$，那么 $- \frac{3 \varepsilon}{2} < a_i < -\frac{\varepsilon}{2}$，（c） 成立

所以 （a）（b）（c） 有且只有一个成立。

5.4.2 设 $x, y, z$ 是实数，那么下面的性质成立：

（a）$x = y, x < y, x > y$ 中恰有一个成立。
（b）$x < y$ 等价于 $y < x$
（c）如果 $x < y, y < z$ 那么 $x < z$
（d）如果 $x < y$ 那么 $x + z < y + z$
（e）如果 $x < y, z > 0$ 那么 $xz < yz$

证明 （a）:
设 $z = x - y$。那么三个命题 $z = 0, z < 0 ,z > 0$恰有一个成立。
$z = 0$ 时，对应 $x = y$
$z < 0$ 时，对应 $x < y$
$z > 0$ 时，对应 $x > y$

证明（b）：
因为 $x < y$
所以 $x - y < 0$
所以 $y - x > 0$
所以 $y > x$

证明（c）：
因为 $z - x = z - y + y - x > 0$
所以 $x < z$

证明（d）：
因为 $y + z - (x + z) = y - x > 0$
所以 $x + z < y + z$

证明（e）：
因为 $yz -xz = (y - x) z > 0$
所以 $xz < yz$

5.4.3 设 $x$ 是实数，证明存在唯一的整数 $n$ 满足 $n \leq x < n + 1$

设 $x=(x_1,x_2,…,x_n,…)$ 是一个比例数的 Cauchy 序列，并且设 $\varepsilon=\frac{1}{2}$。
那么，存在一个 $M$，当 $n,m \geq M$ 时，有 $|x_n−x_m|< \frac{1}{2}$.
所以 $x∈[x_M−\frac{1}{2},x_M+ \frac{1}{2}]$。
因为 $x_M−\frac{1}{2}$ 是比例数，所以存在一个$N_0$ 满足：

$$N_0 \leq x_M − \frac{1}{2} < N_0 + 1$$
所以：
$$N_0 \leq x < N_0 + 2$$

分情况讨论：
（1） $x < N_0 + 1$
此时设 $n = N_0$ ，那么有 $n \leq x < n + 1$
（2） $x \geq N_0 + 1$
此时设 $n = N_0 + 1$，那么有 $n \leq x < n + 1$

因此就证明了存在一个整数 $n$ 满足 $n \leq x < n + 1$

下面再证明这个整数 $n$ 是唯一的。
反证法：
假设有两个不相同的整数 $n_1, n_2$ 都满足：

$$n_1 \leq x < n_1 + 1\\ n_2 \leq x < n_2 + 1$$

那么有

$$n_1 < n_2 +1 \\ n_2 < n_1 +1 \\ $$

$n_1 < n_2 +1$ 同时 $n_1 \neq n_2$， 表明： $n_1 < n_2$
另一方面：
$n_2 < n_1 +1$ 同时 $n_1 \neq n_2$， 表明： $n_2 < n_1$

这两个条件矛盾。所以 $n$ 是唯一的。

5.4.4 证明对于任何正实数 $x > 0$ 都存在正整数 $N$，满足 $x > 1/N > 0$

因为 $x > 0$，所以 $1/x > 0$
所以存在正整数 $N$ 满足 $N > 1/x$
所以

$$x > \frac{1}{N} > 0$$