洛谷P1226【模板】快速幂

题目描述

给你三个整数 $a,b,p$，求 $a^b\mathrm{mod}p$。

输入格式

输入只有一行三个整数，分别代表 $a,b,p$。

输出格式

输出一行一个字符串 a^b mod p=s，其中 $a,b,p$ 分别为题目给定的值， $s$ 为运算结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 10 9

样例输出 #1

2^10 mod 9=7

提示

样例解释

$2^{10}=1024$，$1024\mathrm{mod}9=7$。

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $0\le a,b<2^{31}$，$a+b>0$，$2\le p<2^{31}$。

前置知识

在八年级上学期的数学课本中，有这样一个公式 $a^n\times a^m=a^{m+n}$ .
注：此处的 $a$ 与题目中的 $a$ 无关；

公式推导

根据前置知识中的公式，可以发现：
$$\begin{array}{rlr}{a}^b& =a^{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}}& =a^{\frac{b}{2}}\times a^{\frac{b}{2}}\end{array}$$
由于C++的除法是取余的，所以代码使用的公式应该是下面这个公式，并且要考虑的 $b=1\text{ 或 }b=0$ 时的特殊情况。
$$a^b=\{\begin{array}{ll}{a}^{\frac{b}{2}}\times a^{\frac{b}{2}}& \text{b是偶数}\\ a^{\lfloor \frac{b}{2}\rfloor }\times a^{\lfloor \frac{b}{2}\rfloor }\times a& \text{b是奇数}\\ a& b=1\\ 1& b=0\end{array}$$

代码实现

通过上面的公式，就可以写出对应的代码。注意要取余，“能多模不少模”。
另外，这道题要开long long

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;
long long Mi(long long a,long long b,long long mod)
{
	if(b==0) return 1;
	if(b==1) return a%mod;
	if(b%2==1) return a%mod*Mi(a,b/2,mod)%mod*Mi(a,b/2,mod)%mod;//当b为奇数时
	else return Mi(a,b/2,mod)%mod*Mi(a,b/2,mod)%mod;//当b为偶数时
}

别急，这个代码仍有一些问题，可能会爆TLE，为什么？
因为当 $b\ne 0\text{ 且 }b\ne 1$时程序会调用两次函数，那么为了避免重复调用，我们不放用一个变量 $num$ 存储 $a^{\lfloor \frac{b}{2}\rfloor }$ 的值，代码如下

long long Mi(long long a,unsigned long long b,long long mod)
{
	if(b==0) return 1;
	if(b==1) return a%mod;
	long long num;
	num=Mi(a,b>>1,mod);
	if(b%2==0) return num%mod*num%mod;
	else return a%mod*num%mod*num%mod;
}

AC代码

注意输出格式！

#include<iostream>
using namespace std;
long long Mi(long long a,unsigned long long b,long long mod)
{
	if(b==0) return 1;
	if(b==1) return a%mod;
	long long num;
	num=Mi(a,b>>1,mod);
	if(b%2==0) return num%mod*num%mod;
	else return a%mod*num%mod*num%mod;
}
int main()
{
	long long a,b,mod;
	cin>>a>>b>>mod;
	cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<mod<<"="<<Mi(a,b,mod)<<endl;
	return 0;
}