6、变分法与有限元方法详解

变分法与有限元方法详解

1. 变分表达式与模式问题

在处理空心导电波导的模式问题时，我们可以得到一个变分表达式。当在边界 $C$ 上，要么 $\phi$ 为零，要么其法向导数为零，我们就能得到对应的 TM 或 TE 模式。实际上，这个变分表达式不仅是稳定的，而且是极小的。任何可允许的 $\phi$ 代入该表达式，得到的结果都会高于最低或主模式的截止波数。对于主模式以上的模式，该表达式仍然是稳定的，但不再是极小的。

1.1 练习

考虑一个包含电阻介质的变分表达式 $J(\phi) = \iint f(x, y)(\nabla\phi)^2 dS$，其中 $f(x, y)$ 是给定的实标量函数。为了求解对应的欧拉方程，我们可以使用以下公式：
$\iint p\nabla q \cdot \nabla r dS = - \iint q\nabla \cdot (p\nabla r) dS + \oint pq \frac{\partial r}{\partial n} dl$

1.2 变分表达式的其他应用

变分表达式在其他领域也有广泛的应用：
1. 电容计算 ：将相关方程应用于电容器，可得到电容这一有用参数，用于近似 TEM 结构的特性阻抗。
2. 声学与振动问题 ：方程可用于求解声学容器的共振频率（此时 $\phi$ 为瞬时压力），也适用于振动弦问题，只是积分维度不同。
3. 量子力学 ：方程 $E = \frac{\iiint \psi^ H \psi dV}{\iiint