36、RSA与因式分解问题：单变量小根求解方法解析

RSA与因式分解问题：单变量小根求解方法解析

1. 引言

在数论和密码学领域，求解模单变量多项式方程的小根问题是一个重要的研究方向。当整数的因式分解未知时，该问题的求解变得具有挑战性。本文将详细介绍一种基于Coppersmith方法的求解思路，它能在多项式时间内找到满足特定条件的小根。

2. 问题定义

设 (N) 是一个因式分解未知的正整数，且有除数 (b \geq N^{\beta})，其中 (0 < \beta \leq 1)。令 (f(x)) 是一个次数为 (\delta) 的首一（最高次项系数为 1）单变量多项式。我们的目标是找到多项式 (f) 模 (b) 的所有小根，即找到所有满足以下条件的解 (x_0)：
- (f(x_0) \equiv 0 \pmod{b})
- (|x_0| \leq X)，其中 (X) 是解的大小的上界。

我们的目的是在保证求解方法的运行时间是输入规模（即参数 (\log N) 和 (\delta)）的多项式的前提下，最大化上界 (X)。

3. Coppersmith方法概述

1996 年，Coppersmith 提出了一种基于 LLL（Lenstra-Lenstra-Lovász）算法的优雅方法，用于求解单变量多项式方程的小解。该方法的核心思想是将求解模多项式方程的问题转化为求解整数上的单变量多项式问题。具体来说，从 (f(x)) 构造另一个单变量多项式 (g(x))，使得 (f(x)) 的所有模小根也是 (g(x)) 在整数上的根，即：
对于所有 (|x_0| \leq X)，若 (f(x_0) \equiv 0 \pmod{b})，则