车辆编队在非理想通信下的稳定性分析

车辆编队与非理想通信网络

摘要

车辆编队的性能和有效性依赖于信息流拓扑结构以及通信质量，例如时延和丢包。本文研究了基于同质恒定车头时距间距策略的车辆编队纵向控制问题，考虑了包括有限通信范围、随机丢包以及时变通信延迟在内的通信损伤。其中，内部稳定性描述了系统在无扰动情况下的稳定性，而弦稳定性则关注当车辆编队受到外部扰动时误差的放大情况。首先，针对每辆车利用多个前方和后方车辆的位置、速度和加速度信息的情况，我们基于矩阵多项式的稳定性和矩阵特征值扰动理论，得到了保证车辆编队系统内部稳定性的充分条件。接着，在考虑随机丢包的情况下，我们发现编队控制的有效性取决于数据包成功接收的频率，或直到接收到新数据包的延迟。此外，我们还获得了所有通信链路上时变通信延迟的上界，使得当通信延迟处于该上界范围内时，车辆编队的内部稳定性仍可保持。本文还通过传递函数分析了理想通信情况以及具有均匀恒定延迟情况下的 L2‐弦稳定性。大量基于Simulink的数值仿真结果验证了我们的分析，揭示了在实际信息流拓扑下通信损伤如何影响编队控制。

索引词 —时延，内部稳定性，纵向控制，随机丢包，弦稳定性，车辆编队。

I. 引言

A VEHICLE 车辆编队是由一组无物理连接的车辆组成的公路列车，通过自动化和车联网（V2V）通信技术保持较短的车间距离[1]。研究表明，一辆以80km/h速度行驶的汽车，在仅跟随一辆前车且间距为25m时，空气动力阻力可降低30%，若跟随两辆前车则可降低40%[2]。通过保持较短的车间距离，车辆编队中的“跟随”车辆具有更小的空气动力阻力和更低的燃油消耗。这也有助于减少交通运输系统的碳排放。此外，车辆编队有助于提高道路的交通流量，对于缓解交通拥堵至关重要。例如，如果所有乘用车都形成车辆编队，道路容量可提升200%[3]。随着对顺畅交通流、自动驾驶技术进步以及降低燃油消耗的迫切需求，车辆编队将成为未来智能交通系统发展中的关键技术。

车辆编队控制系统包括纵向控制和横向控制，其中纵向控制旨在调节车辆的纵向运动，而横向控制则用于使各个车辆准确跟踪车道中心。本文重点研究车辆编队的纵向控制。针对纵向控制，已提出了多种间距策略，如恒定和可变间距控制策略。目前最常用的间距控制策略是恒定距离策略和恒定时间车头间距策略。与恒定距离策略相比，恒定时间车头间距策略在不同信息流拓扑（IFTs）下（例如一阶前瞻、两前车跟随、领航‐跟随、领头‐前车跟随、多前视、多个前后车）能够提升车辆编队的可扩展性和稳定性。在自适应巡航控制（ACC）中，编队中的每辆车利用车载传感器（如基于雷达的传感器）测量其前一辆车的速度和位置，并利用这些传感器测量值维持较小的车间距离。由于ACC在控制性能方面存在局限性（例如车头时距存在固有极限），协同自适应巡航控制（CACC）已成为更受欢迎的技术。在CACC中，通过车际通信实现车辆编队中更短的车间距离，并保证系统的抗干扰鲁棒性。

近年来，车辆编队在领头‐前车信息结构下的研究受到广泛关注，其中领头车辆将其本地信息广播给所有跟随车辆，各跟随车辆将接收到的领头车辆信息与其直接前车的信息结合，用于本地控制。然而，当车队规模较大时，这种领头‐前车结构可能并不现实。因此，有必要考虑每辆车在车队中具有有限通信范围的情况。此外，若每辆车能够掌握更高比例的全局网络信息，则车辆在加速度和速度上可能实现更快的一致性。研究表明，在本地控制器中使用多个前车信息可以最小化车头时距[4]，这意味着利用更多前车和后车的信息可以最小化车间距离。同时，为确保安全应用和协同驾驶，必须对网络与控制器进行联合设计。综上所述，深入研究每辆车接收并利用多个前车和多个后车信息的车辆编队性能具有重要意义。

车联网（V2V）和车路通信（V2I）无线通信技术促进了协同自适应巡航控制（CACC）的应用与发展。然而，无线通信质量受到多种因素的损害，如信道衰落、阴影效应和干扰，因此在车载通信网络中通信延迟和数据包丢失不可避免[5]。因此，研究这些因素对车辆编队控制的影响具有必要性和重要意义，可为设计高效控制器提供指导。近年来，不完美通信环境下的车辆编队稳定性条件已受到关注。特别是对于领航‐前车跟随和单前瞻信息流拓扑（IFT），通信时延和随机丢包如何影响系统性能已被研究[6]–[8]。然而，对于采用更通用的信息流拓扑（IFT）的车辆编队，例如双前车跟随、有限通信范围以及双向网络，其车队系统的稳定性、可扩展性和鲁棒性主要是在假设通信网络理想的前提下进行研究的[9]–[11]。目前仍缺乏对基于有限通信范围的网络（即每辆车利用多个前后车的信息）与不完美通信环境之间相互作用的分析，以及它们如何共同影响车辆编队控制性能的研究。为填补这一空白，本文研究了在不完美通信环境下，每辆车具有有限通信范围并采用恒定时间车头间距策略的车辆编队问题。本工作的主要贡献总结如下。

1) 我们分析了车辆在有限通信范围（其中每辆车使用多个前车和后车的信息）以及不理想通信环境下的车辆编队控制性能。

2) 我们研究车辆编队如何实现内部稳定性。具体而言，通过利用矩阵特征值扰动理论和分块矩阵多项式，我们得到了保证内部稳定性的充分条件。

3) 我们证明了在确保内部稳定性的条件下，时变通信延迟存在一个上界。我们还量化了具有随机丢包的车辆编队的可靠性，并刻画了编队控制的性能。

4) 我们分别分析了所考虑的车辆编队模型在理想通信情况（无任何时延或丢包）以及具有均匀且恒定的通信延迟的情况下的弦稳定性。给出了保证 L2‐弦稳定性的充分条件。

本文的其余部分组织如下。相关工作在第二节中进行了总结。第三节提供了预备知识和问题描述。我们在第四节中给出了系统设计，并在第五节中分析了系统性能。第六节通过数值研究验证了主要结果。结论和未来工作在第七节中给出。

II. 相关工作

对于采用领航‐前车跟随拓扑结构的车辆编队，当存在通信延迟时，大量研究已集中在稳定性分析和控制器设计方面。在恒定间距策略下，Liu et al.研究了时不变延迟对车辆编队弦稳定性的影响，并提出了一种通过时钟抖动[6]避免由通信延迟引起的不稳定性的简单方法。Xiao et al.分析了当车辆与领航车辆之间的通信延迟大于车辆与其前车之间通信延迟时编队的稳定性，并针对两种不同的间距策略提出了比例微分和基于滑模的控制器[7]。此外，Peters et al.分析了均匀延迟在不同通信策略下对系统性能的影响[12]。Fernandes et al.提出了一种基于编队内信息管理的缓解方法以保证弦稳定性，但仅提供了仿真结果[13]。针对其他简单信息结构的车辆编队也开展了大量工作。对于存在一致时变延迟的基于协同自适应巡航控制的车辆编队，在不确定采样间隔和延迟条件下获得了确保弦稳定性的充分条件[8]。Bernardo et al.为车辆编队提出了一种基于一致性控制策略，并研究了时变延迟对内部稳定性的影响，其中所有车辆均可获取领航车辆的信息[14],[15]。Liu et al.给出了具有恒定输入延迟的车辆编队的稳定性条件，其中每辆车通过其本地传感器测量一阶前瞻和一阶后瞻车辆的信息[16]。对于采用非线性本地控制器并利用一个直接（多个）前车信息的联网巡航控制系统，已有大量研究致力于研究反馈延迟和通信延迟对稳定性的影响。例如，Jin et al.研究了驾驶员反应时间/传感器延迟、时不变但异构通信延迟以及车队系统的稳定裕度，并提出了一种最优反馈律以最小化由车头时距和速度误差定义的成本函数[17]。他们还研究了延迟的局部信息是否能够增强开链和环路结构下车队系统的稳定性[18]。在[19]中，研究了异构连接结构和信息时延对联网车辆系统稳定性的影响，并设计了一种基于模体的方法来改善模块和可扩展性。同时，Qin et al. 研究了随机延迟对非线性车队系统稳定性的影响，其中考虑了均匀丢包率[20]。

具有数据包丢失的车辆编队是另一个热门研究课题。Seiler et al.利用线性矩阵不等式研究了数据包丢失对离散时间车辆跟随控制的影响，其中每辆车仅使用其前车信息进行纵向控制[21]。Teo et al.研究了一种具有领头‐前车跟随结构和数据包丢失的车队的离散时间模型，并提出了一种通过估计领航车辆状态来缓解问题的方法[22]。针对持续丢包情况，提出了一种基于状态估计的方法，使协同自适应巡航控制（CACC）能够平滑切换至自适应巡航控制，并保证弦稳定性[23]。Guo et al.考虑了恒定间距策略以及具有随机丢包和有限通信容量的基于领头‐前车跟随型信息流拓扑的车队，并设计了一种策略以确保均方指数弦稳定性[24]。针对存在车车间通信损失的异构车辆编队，Harfouch et al.提出了一种扩展驻留时间结构，并设计了自适应切换控制器以保证系统稳定性[25]。Acciani et al.研究了采用单前瞻信息流拓扑的基于协同自适应巡航控制的车辆编队，并提出一种基于H无穷的控制器以保证期望稳定性[26]。Zhao et al.研究了具有数据包丢失的离散时间车辆车队模型，其中本地车辆控制器利用多个前车信息，并对收敛时间进行了深入分析[27]。

近年来，具有通用IFT的车队也成为一个重要研究课题。Richard et al.采用频域方法[28]分析了车辆编队的稳定性。在他们的模型中，每辆车具有有限通信范围，并将其间距误差信息广播给邻居。Zheng et al.考虑了采用恒定间距策略的编队，并研究了通用IFTs[9]的可扩展性与鲁棒性。Li et al.提出了一种基于特征值的方法来研究车辆编队的稳定性和可扩展性，其中考虑了通用IFT和恒定间距策略[10]。Stüdli et al.研究了车辆编队的循环互连结构，并通过频域方法给出了弦稳定性的条件[29]。文献[9]分析了具有通用无向IFTs和恒定间距策略的车辆编队的稳定裕度。针对具有通用IFTs的编队控制问题也已开展了大量研究[30]。Bian et al.研究了采用固定时间车头时距策略的车辆编队，其中利用多个前车信息实现短车车间距控制[11]。

近年来，为避免车辆碰撞，针对车辆编队的动态分析已开展了大量研究。Bergen-hem et al.研究了存在数据包丢失情况下车辆编队的协调紧急制动问题，提出了一种基于机器学习的参数估计方法，并通过仿真提供了定量分析[31]。Wu et al.提出应用卡尔曼滤波器处理通信时延，并为车辆编队设计自适应加速度[32]。Li et al.针对单个编队考虑了一阶前瞻和领航者跟随纵向控制，以及并行编队的协同横向控制，提出了基于人工函数方法的控制器[33]。Al-Jhayyish et al.研究了一阶前瞻和固定时间车头间距模型，提出通过估计不同反馈策略的参数边界以确保车辆编队的弦稳定性[34]。

需要注意的是，当每辆车的通信范围有限（每辆车利用多个前车和后车的信息）时，如何保持车辆编队的稳定性，以及不理想的通信环境对编队控制的影响，仍然是未解决的问题。

III. 预备知识与问题描述

符号说明

设 R、N、N+ 和 C 分别表示实数集、自然数集、正整数集和复数集。设 A=[aij] ∈R n×m为一个 n× m实矩阵，其中 n, m ∈N +，且 aij是 A的第(i, j)个元素。 A的转置记为 A′。令 Rn表示 n 维实列向量空间。对称方阵 A ∈R n×n是正定的（A ≻ 0），如果对于任意非零向量 x ∈R n，都有 x′Ax> 0； A是半正定的（A ⪰ 0），如果对于任意 x ∈ R n，有 x′Ax ≥ 0。我们用 I表示单位矩阵，其维数在出现时会明确说明。矩阵 A的行列式记为 det(A)。设 ‖ · ‖2表示向量或矩阵的 2‐范数。我们用 i 表示虚数单位，函数 real(·) 取复数的实部。方阵 A是一个稳定矩阵（或 Hurwitz 矩阵），如果 A的每个特征值都具有严格负的实部。函数 min(·)（max(·)）取最小（最大）值。我们用 e 表示自然对数的底。令 Pr{·}表示事件 ·发生的概率。

A. 网络模型

考虑一个由 n+ 1≥2个同质车辆组成的车队，其中 n 为后车数量。每辆车具有一个唯一标识符，即 i= 0, 1, 2,…, n，其中 i= 0为领航车辆的标识符，后车的标识符为i ∈{1,…, n}。通信网络的拓扑结构由 G=(V, E)表示，其中 V为{1, 2,…, n}辆车的集合， E ⊂ V × V为边集。若车辆 i使用车辆j的信息，则存在(i, j) ∈ E。本文考虑每辆车具有有限通信范围，并在 i ∈[r, n − l], r+ l< n时使用其 r辆前车和 l辆后车的信息。参数 r和 l可以在车辆编队实施前将其设置为常数。对于 1 ≤ i< r，车辆 i 与 i个前车和 l个后车通信；而对于 i> n− l，车辆 i与 r个前车和 n− i个后车通信。不允许自环，即对所有 i ∈ V， (i, i) ∉ E。包含领航车辆在内的整个车队的通信图建模为 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜由 G=(V, E)表示， 其中 V= V ∪{0}和 E包含车队中所有的通信链路。设 A=[Aij] ∈ Rn×n为图 G=(V, E)的邻接矩阵，其中当且仅当(i, j) ∈ E时成立。入度矩阵 D=[Dij] ∈ Rn×n是一个对角矩阵，其元素为 Dii=∑ n j=1 Aij。拉普拉斯矩阵 L定义为 L= D − A。令 P ∈ Rn×n为一个对角矩阵，若车辆 i使用领航车辆的信息，则 Pii= 1。

B. 车辆动力学模型

设 mi为质量， qi为所有i ∈ V˜对应的车辆 i的位置。根据牛顿定律和车辆的发动机动力学[35]，车辆 i的动力学模型为
$$
m_i\ddot{q}_i = m_i\xi_i - K_i \dot{q}_i^2 - d_i, \quad \dot{\xi}_i = -\frac{\xi_i}{\tau_i(\dot{\xi}_i)} + \frac{\mu_i}{m_i\tau_i(\dot{\xi}_i)},
$$
其中 $K_i \dot{q}_i^2$ 表征空气阻力， Ki为恒定参数， $m_i\xi_i$ 是车辆的发动机驱动力，di是表示机械阻力的常数。此外，$\tau_i(\xi_i)$ 表示发动机时间常数， $\mu_i$ 是发动机的节气门输入。(1)中的参数假设先验已知。采用控制律 $\mu_i = m_iu_i + K_i \dot{q}_i^2 + d_i + 2\tau_i(\dot{\xi}_i)K_i \dot{q}_i\ddot{q}_i$ 后，可得…
$$
\dddot{q}_i = -\frac{1}{\tau_i}\ddot{q}_i + \frac{1}{\tau_i}u_i,
$$
其中当 $\tau_i(\xi_i)$ 足够小时，$\tau_i = \tau_i(\xi_i)$ 为恒定， ui为控制输入。令 vi(t)和 ai(t)分别为车辆 i在时刻 t的绝对速度和加速度。每辆车辆 i的动力学由下式描述：
$$
\dot{q}_i(t) = v_i(t), \quad \dot{v}_i(t) = a_i(t), \quad \dot{a}_i(t) = -\frac{1}{\tau}a_i(t) + \frac{1}{\tau}u_i(k),
$$
其中$\tau = \tau_i = \tau_j$对于所有 $i, j \in V$。本文主要关注由联网自动驾驶车辆组成的系统的线性模型，该模型已在车辆控制中得到广泛应用。一个重要的进一步研究问题是分析非线性模型，因为车辆存在输入饱和和速度边界约束等非线性约束，这有待于未来工作。

C. 通信损耗和延迟模型

1) 通信损耗模型

我们考虑两种不同的通信损耗模型。在第一种模型中，假设在所有通信链路上数据包传输以相同的恒定概率成功；在第二种模型中，数据包传输的成功概率取决于车辆之间的相对距离。

在第一种模型中，所有链路上的数据包转发以相同的概率成功，即 pij= p，(i, j) ∈ E, 0<p ≤ 1。对于每一辆车辆 i，如果来自其邻居 j 的数据包传输成功，则 i 将使用新接收到的信息进行本地控制；否则，车辆 i 将使用最新接收到的信息进行本地控制。

在第二个模型中，由于无线信号随着通信车辆之间的相对距离[37],[38],˜而衰减，成功概率 pij，(i, j) ∈ E随距离增加而减小。通过[39],，在时刻 t ，从邻居车辆 j到车辆 i接收机的接收信号功率Pi,j(t)由下式给出：Pi,j(t) = K0Pb,j(t)|di,j(t)|α，其中Pb,j(t)是车辆 j, K0的发射信号功率， α为正常数，|di,j(t)|是车辆 i与 j之间的绝对距离。假设通信噪声具有平均功率 N0，即它是均值为零、方差为 N0的加性高斯随机变量。在每个时隙 t，所有 n+ 1辆车向其邻居广播信息。假设不同车辆之间不存在通信干扰，则信噪比(SNR)γ¯i,j(t)为γ¯i,j(t)= Pi,Nj0 = K0Pb t N0|di j ( ),j(t), (t)) |α。如果快衰落信道模型服从瑞利分布，则信噪比的概率密度函数为fi(γi,j(t)) = 1 γ¯i j, (t)e − γi, j(t) γ¯i t ,j( ) 对于γi,j(t) ≥ 0成立，否则 fi(γi,j(t))= 0。给定一个可接受的信噪比 γ˜， γi，j(t)必须大于或等于 γ˜，车辆 i才能成功解码接收到的数据包。因此，成功数据包传输的概率计算如下
$$
p_{ij}(t) = \text{Pr}{\gamma_{i,j}(t) \geq \tilde{\gamma}} = e^{-\frac{\tilde{\gamma}}{\bar{\gamma} {i,j}(t)}} = e^{-\frac{\tilde{\gamma}N_0 |d {i,j}(t)|^\alpha}{K_0 P_{b,j}(t)}}.
$$
请注意，当相对距离增大时，数据包传输成功的概率会降低。

备注3.1 ：干扰和网络拥塞（由车队成员数量引起）是车载网络中数据包丢失的主要来源。然而，干扰和网络拥塞也取决于车辆间距，因为当发射器与接收器之间的距离增大时，干扰变得越来越难以容忍，而网络拥塞则会减弱。此外，通过通信协议设计可以缓解干扰和网络拥塞。因此，在本文中，数据包丢失模型主要依赖于距离。[40],低层自动化的有效载荷为300‐400字节。在车辆编队中，仅需传输位置、速度和加速度，交换的数据量非常小，可容纳在一个单个数据包内。因此，鉴于5G新空口等车联网通信系统的容量，交换的数据量不太可能导致显著的拥塞损耗，为简化起见，我们忽略其影响。验证车辆编队中更真实的损耗模型是一个有趣的研究方向，将留作未来工作。

2) 通信延迟模型

由于在传输过程中新数据包丢失时将使用过时的信息，因此车辆编队在通信丢失下的性能分析可转化为具有通信延迟的问题。本文考虑通信链路上的异质时变延迟。设
令˜ιij(t)表示链路(i, j)上的时变延迟 ∈ E。需要注意的是，在实际中，通信延迟是依赖于数据包丢失的采样点，这是 ιij(t)的一种特殊表达形式。由于我们考虑了更一般的延迟模型 ιij(t)，所得到的分析结果适用于存在时变延迟的实际场景。

D. 研究问题

在现有文献中，关于车辆编队控制器设计和针对通用 IFT（包括基于有限通信范围的IFT）的性能分析，大多数研究依赖于通信环境理想的假设。本文回答了以下问题。

• 在具有有限通信范围的理想通信环境中，是否存在能够保证车辆编队内部稳定性的增益参数？
• 当存在通信延迟或随机通信丢失时，如何维持车辆编队的内部稳定性与弦稳定性？
• 当存在概率性传输丢失时，控制器在何时以及为何会失效？我们能否提供其他指标来表征车辆编队的可靠性？

IV. 系统设计

在本节中，我们描述了本文所考虑的系统与协议，其包含三个部分，即恒定车头时距间距策略、分布式控制器和通信机制。

A. 恒定车头时距间距策略

在车辆编队中采用恒定时间车头间距策略，以保持相邻车辆之间较小的相对距离。车辆 i与其前导车辆 i −1之间的期望距离di,i−1(t)由下式描述
$$
d_{i,i-1}(t) = d + hv_i(t),
$$
其中， h> 0为恒定时间车头间距， d为恒定距离。车辆i与其前导车辆 i −1之间的实际距离为 di(t) = qi−1(t) − qi(t) − ，其中 是车辆 i的长度。然后，车辆 i ≥ 1与其前导车辆 i −1之间的间距误差通过以下方式计算：
$$
e_i(t) = d_i(t) - d_{i,i-1}(t) = q_{i-1}(t) - q_i(t) - - (d + hv_i(t)).
$$
由于 和 d在 V中的所有车辆中都相同，我们在本文其余部分忽略它们。对于通信图中的任意一对相邻车辆 i和 j，期望间距距离为
$$
d_{i,j}(t) =
\begin{cases}
\sum_{\eta=j+1}^{i} hv_\eta(t), & j < i, \
-\sum_{\eta=i+1}^{j} hv_\eta(t), & j > i.
\end{cases}
$$
每辆车与领航车辆之间的期望距离为 i> 0和$d_{i,0}(t) = \sum_{\eta=1}^{i} hv_\eta(t)$。采用基于速度的策略是为了改善弦稳定性。注意，当图1. 车辆 i的闭环示意图速度变化时，车队中的可通信车辆数量也不同。需要指出的是， r和 l可以设置为常数。例如， r和 l分别设置为在最大速度下获得的前车数量和后车数量。此外，我们为通用IFTs使用不同的r和 l，可针对车辆编队进行优化。

B. 分布式控制器

受[9]和[11]的启发，我们研究了每辆车辆利用其与通信邻居之间的间距误差、速度误差和加速度误差来生成控制输入的情况。对于每一辆车 i，其控制输入 ui(t)由三部分组成，即利用多个前车信息的控制输入 upr i(t)，利用多个后车信息的控制输入ufl i(t)，以及利用领航车辆信息的控制输入 ule i(t)。具体而言，对于 i ∈ V，有 ui(t) = upr (t)+ ufl i(t) + ule i(t) 和
$$
u_{pr}^i(t) + u_{fl}^i(t) = \sum_{j=1}^{n} A_{ij}(k_q(q_j(t) - q_i(t) - d_{i,j}(t)) + k_v(v_j(t) - v_i(t)) + k_a(a_j(t) - a_i(t))),
$$
$$
u_{le}^i(t) = P_{ii}(k_q(q_0(t) - q_i(t) - d_{i,0}) + k_v(v_0(t) - v_i(t)) + k_a(a_0(t) - a_i(t))),
$$
其中k q 、 kv和 kd是相应的增益参数。

给出一个示例以展示控制器(7)的闭环控制回路。对于车辆 i，包含 r= 2和 l= 1，我们有图1所示的车辆 i的反馈控制回路，其中包含了车辆 i的信息流和控制结构。控制输入是局部状态信息 x¯ i( t) =[qi( t) v i( t) ai( t)] ′与邻居传输的信息 x¯ i −2(t) =[qi −2(t) vi −2(t) ai −2(t)] ′,x¯i −1(t) =[qi − 1(t) vi − 1(t) ai − 1(t)] ′以及x¯ i+1(t)=[qi+1(t); vi+1(t); ai+1(t)],的组合，如公式(7)所示。

C. 通信机制

假设车辆之间的通信间隔为Ts，且每辆车 i在接收到邻居的采样数据后采用零阶保持。那么，在区间[kTs,(k+ 1)Ts) 对所有 k ∈ N，车辆接收到的信息为

V. 内部稳定性与弦稳定性分析

在本节中，我们首先给出关于增益参数和初始时间函数的充分条件，以确保车辆编队的内部稳定性。然后，从随机丢包情况下车队的可靠性角度进行稳定性分析。我们还分析了时变通信时延如何影响车队的内部稳定性。

A. 理想通信下车队的内部稳定性

在本小节中，我们首先建立车辆具有有限通信范围的车队的内部稳定性。然后，通过使用特征值扰动理论，得到内部稳定性的充分条件。类似于[11]，令$\tilde{q} i(t)$、 $\tilde{v}_i(t)$和 $\tilde{a}_i(t)$分别为车辆 i与领航车辆之间的相对距离、相对速度和相对加速度，即
$$
\tilde{q}_i(t) = q_i(t) - (q_0(t) + d {i,0}(t)), \quad \tilde{v} i(t) = v_i(t) - v_0(t), \quad \tilde{a}_i(t) = a_i(t) - a_0(t).
$$
然后，控制输入可以描述为
$$
u {pr}^i(t) + u_{fl}^i(t) = \sum_{j=1}^{n} A_{ij}(k_q(\tilde{q} j(t) - \tilde{q}_i(t)) + k_v(\tilde{v}_j(t) - \tilde{v}_i(t)) + k_a(\tilde{a}_j(t) - \tilde{a}_i(t))),
$$
$$
u {le}^i(t) = P_{ii}(-k_q \tilde{q} i(t) - k_v \tilde{v}_i(t) - k_a \tilde{a}_i(t)),
$$
其中期望距离已被消除。假设领航车辆保持恒定速度，即 $q_0 = v_0 t$ 和 $a_0 = 0$，则可得
$$
\dot{\tilde{q}}_i(t) = \tilde{v}_i(t) - \sum {\eta=1}^{i} h\tilde{a}_\eta(t), \quad \dot{\tilde{v}}_i(t) = \tilde{a}_i(t), \quad \dot{\tilde{a}}_i(t) = -\frac{1}{\tau} \tilde{a}_i(t) + \frac{1}{\tau} u_i(t).
$$
令$\tilde{q}(t) = [\tilde{q}_1(t) \tilde{q}_2(t) \cdots \tilde{q}_n(t)]’$, $\tilde{v}(t) = [\tilde{v}_1(t) \tilde{v}_2(t) \cdots \tilde{v}_n(t)]’$, $\tilde{a}(t) = [\tilde{a}_1(t) \tilde{a}_2(t) \cdots \tilde{a}_n(t)]’$, $u(t) = [u_1(t) u_2(t) \cdots u_n(t)]’$。根据(9)和(10)，车队的闭环动力学可写为
$$
\dot{x}(t) = \tilde{A}x(t),
$$
其中 $x(t) = [\tilde{q}(t)’ \tilde{v}(t)’ \tilde{a}(t)’]’$。系统矩阵 $\tilde{A}$ 在 (11) 中具有以下结构
$$
\tilde{A} = \begin{bmatrix}
0_n & I_n & -H \
0_n & I_n & 0_n \
-\frac{k_q}{\tau} \tilde{L} & -\frac{k_v}{\tau} \tilde{L} & \frac{1}{\tau}(-I_n - k_a \tilde{L})
\end{bmatrix},
$$
其中 $\tilde{L} = L + P$, $0_n$ 是一个 $n \times n$ 零矩阵且
$$
H = \begin{bmatrix}
h & 0 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
h & h & \cdots & h
\end{bmatrix}.
$$
系统(11)全局渐近稳定的充要条件是$\tilde{A}$的所有特征值均具有负实部。通过对 $\tilde{A}$的特征多项式进行分析，得到如下引理。

引理5.1 ：设 C为块友矩阵，即
$$
C = \begin{bmatrix}
0_n & I_n & 0_n \
0_n & I_n & 0_n \
-\frac{k_q}{\tau} \tilde{L} & \frac{k_q}{\tau} \tilde{L}H - \frac{k_v}{\tau} \tilde{L} & \frac{1}{\tau}(-I_n - k_a \tilde{L})
\end{bmatrix}.
$$
然后， $\tilde{A}$和 C具有相同的特征值集合。

注释5.2 ：在[41]中可以找到 C˜和 $\tilde{A}$特征值之间的关系，这为选择系统参数和初始时间函数以改善车辆编队的内部稳定性提供了方法。然后，我们可以进一步研究包含在 $\tilde{L}$中的初始时间函数与由 $\tilde{A}$描述的车辆编队的内部稳定性之间的相互作用。

利用矩阵特征值扰动理论，我们分析了具有有限通信范围的车队的内部稳定性。我们将 C写成矩阵扰动形式，即 $C = C_0 + \Delta$，其中 $C_0$和$\Delta$满足
$$
C_0 = \begin{bmatrix}
0_n & I_n & 0_n \
0_n & I_n & 0_n \
-\frac{k_q}{\tau} \tilde{L} & -\frac{k_v}{\tau} \tilde{L} & \frac{1}{\tau}(-I_n - k_a \tilde{L})
\end{bmatrix}, \quad \Delta = \begin{bmatrix}
0_n & 0_n & 0_n \
0_n & 0_n & 0_n \
0_n & \frac{k_q}{\tau} \tilde{L}H & 0_n
\end{bmatrix}.
$$
设 $\sigma_{C_0} = {\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_{3n}}$ 和 $\sigma_C = {\tilde{\lambda} 1, \tilde{\lambda}_2, …, \tilde{\lambda} {3n}}$ 分别为 $C_0$和 C的特征值集合，其中 $|\lambda_{3n}| \geq \cdots \geq |\lambda_2| \geq |\lambda_1|$ 和 $|\tilde{\lambda}_{3n}| \geq \cdots \geq |\tilde{\lambda}_2| \geq |\tilde{\lambda}_1|$。由于获得一般分块伴随矩阵稳定性的充分条件较为困难，我们仅给出拉普拉斯矩阵对称这一特殊情况下的充分条件，即 $r = l$。对于 $r = l$，我们可以得到矩阵 $\tilde{L}$的约当标准型，即 $\tilde{L} = D\Sigma D^{-1}$，其中$\Sigma$为对角矩阵。

引理5.3 ：如果 $r = l$且满足以下条件，
$$
\frac{k_v}{\tau} \Sigma - k_q(k_a\Sigma + I_n)^{-1} \succ 0,
$$
那么$C_0$的所有特征值都具有负实部，即
$$
\text{real}(\lambda_i) < 0, \quad \forall \lambda_i \in \sigma_{C_0}.
$$
证明 ：当 $r = l$ 时，通过执行矩阵Routh阵列测试[42]，可得
$$
C_{11} = I_n, \quad C_{12} = \frac{k_v}{\tau} \tilde{L}, \quad C_{13} = 0_n
$$
$$
C_{21} = \frac{1}{\tau}(I_n + k_a \tilde{L}), \quad C_{22} = \frac{k_q}{\tau} \tilde{L}, \quad C_{23} = 0_n
$$
$$
C_{31} = \frac{k_v}{\tau} \tilde{L} - \left(\frac{1}{\tau}(I_n + k_a \tilde{L})\right)^{-1} \frac{k_q}{\tau} \tilde{L}, \quad C_{32} = 0_n, \quad C_{33} = 0_n
$$
$$
C_{41} = \frac{k_q}{\tau} \tilde{L}, \quad C_{42} = 0_n, \quad C_{43} = 0_n
$$
然后，矩阵商可以表示为
$$
\tilde{H} 1 = C {11}C_{21}^{-1} = \left{\frac{1}{\tau}(I_n + k_a \tilde{L})\right}^{-1} = D{\tau(I_n + k_a\Sigma)}^{-1}D^{-1},
$$
$$
\tilde{H} 2 = C {21}C_{31}^{-1} = \frac{1}{\tau}(I_n + k_a \tilde{L})\left{\frac{k_v}{\tau} \Sigma - k_q(k_a\Sigma + I_n)^{-1}\right}^{-1}D^{-1},
$$
$$
\tilde{H} 3 = C {31}C_{41}^{-1} = \frac{k_q}{\tau} D\left(\frac{k_v}{\tau} \Sigma - k_q(k_a\Sigma + I_n)^{-1}\right)\Sigma D^{-1}.
$$
如果(12)成立，则有$H_1 \succ 0$， $H_2 \succ 0$和 $H_3 \succ 0$。根据[42]中的充分条件，可得(13)。□

C相对于 $C_0$的谱变差以及 $C_0$相对于 C的谱变差定义如下
$$
sv_C(C_0) = \max_i \min_j |\tilde{\lambda} i - \lambda_j|,
$$
$$
sv {C_0}(C) = \max_i \min_j |\lambda_i - \tilde{\lambda} j|.
$$
然后，$C_0$和C的特征值之间的豪斯多夫距离可表示为 $hd(C_0, C) = \max(sv_C(C_0), sv {C_0}(C))$。

定理5.4 ：如果 $C_0$的所有特征值都具有严格的负实部，则必然存在$\Delta$，使得 $\tilde{A}$的所有特征值都具有严格的负实部，即车辆队列(11)是渐近稳定的。

证明 : 我们可以写出 $\Delta = h\Gamma$，其中 $\Gamma$与$h$无关。由于$C_0$的特征值在扰动 $\Delta$下的变化是连续的，如果 $C_0$的所有特征值都具有严格负实部，则必然存在一个足够小的 $h$，使得 C的所有特征值都具有严格负实部。由于 C和 $\tilde{A}$具有相同的特征值，我们得出该定理。□

定理5.5 ：如果 $C_0$的所有特征值的实部均为严格负值，并且满足以下条件，
$$
hd(C_0, C) < \min_{\lambda_i \in \sigma_{C_0}}(|\text{real}(\lambda_i)|),
$$
那么车辆队列(11)是渐近稳定的。

证明 ：我们证明对于所有 $\tilde{\lambda} i \in \sigma_C$，$\text{real}(\tilde{\lambda}_i) < 0$。根据定义，有$\max_i \min_j |\text{real}(\lambda_i) - \text{real}(\tilde{\lambda}_j)| \leq hd(C_0, C)$。如果$hd(C_0, C) < \min(|\text{real}(\lambda_i)|)$，那么对于所有 $\tilde{\lambda}_i \in \sigma_C$，我们有$\min_j |\text{real}(\lambda_i) - \text{real}(\tilde{\lambda}_j)| < \min {\lambda_i \in \sigma_{C_0}}(|\text{real}(\lambda_i)|)$。注意$\text{real}(\lambda_j) < 0$对于所有 $\lambda_j \in \sigma_{C_0}$成立，因此，我们必须有$\text{real}(\tilde{\lambda}_i) < 0$对于所有 $\tilde{\lambda}_i \in \sigma_C$。□

由[43]可得豪斯多夫距离的界。

引理 5.6 ：对于 $C_0$ 和 C，我们有
$$
hd(C_0, C) \leq (|C_0| 2 + |C|_2)\left(1 - \frac{1}{3n}\right)|\Delta|_2^{\frac{1}{3n}}.
$$
注释 5.7 ：如果 (13) 成立且
$$
\left|\frac{k_q}{\tau}\right|^{\frac{1}{3n}}(|C_0|_2 + |C|_2)\left(1 - \frac{1}{3n}\right)|\Delta|_2^{\frac{1}{3n}} < \min(|\text{real}(\lambda_i)|),
$$
那么 C的所有特征值均为负。根据引理5.6， $\sigma_C$与 $\sigma {C_0}$之间的最大‐最小相对距离小于$\min(|\text{real}(\lambda_i)|)$。因此，对于所有 $i \in {1, 2, …, 3n}$，我们有$\text{real}(\lambda_i) < 0$，且 C的所有特征值均具有严格负实部。条件(15)描述了系统稳定性、通用信息流拓扑和系统参数之间的关系。

B. 具有随机丢包的采样通信

在本小节中，我们研究非理想通信环境对车队稳定性的影响，并定义车队控制的可靠性。在进行分析之前，我们给出一个基本假设，以保证采用(8)的车辆编队的稳定性。

假设 5.8 ：对于由(2), (4), (5) 和 (6) 描述并满足(8)的车辆编队，存在一个足够小的$T_s$，能够保证系统稳定性。

设采样频率为 $f_s = 1/T_s$。根据奈奎斯特‐香农采样定理，原始通信信号$q_j(t)$、 $v_j(t)$和 $a_j(t)$的频率应小于 $f_s/2$，且原始周期应大于或等于$2T_s$。假设原始信号的最小周期为T，近似为 $MT_s$。我们将通信间隔$[kT,(k+ 1)T)$划分为$[kT, kT + T_s)$、$[kT + T_s, kT +2T_s)$、 $\cdots,[kT +(M -1)T_s, kT + MT_s)$，则在此周期内至少需要两个采样点以保证原始信号的恢复，这被定义为一个事件Θ。然后，我们得到以下结论
$$
\text{Pr}{\Theta} = 1 - \prod_{\mu=1}^{M}(1 - p_{ji}(kT + \mu T_s)) - \sum_{\nu=1}^{M} p_{ji}(kT + \nu T_s) \prod_{\mu=1,\mu=\nu}^{M}(1 - p_{ji}(kT + \mu T_s)).
$$
注意，如果采样周期 $T_s$ 足够小，则 $M$ 会较大，即使成功报文传输的概率较小，该概率也会较大。当 $T_s$ 增加时，该概率减小。因此，对于每一辆车辆 $j$，我们通过概率$\text{Pr}{\int_{kT}^{(k+1)T} (k_q + k_a q_j(t) - \hat{q}_j(t) + k_v v_j(t) - \hat{v}_j(t) + a_j(t) - \hat{a}_j(t))^2 dt \leq \varepsilon}$来定义其可靠性，该可靠性取决于采样周期、输入信号和丢包概率。

C. 时变延迟下的内部稳定性

由于无线介质在车辆之间共享，且存在无线网络动态，每条消息的信道接入时间是随机的，从而导致随机延迟。此外，部分数据包在接收端可能受损且不可解码，接收端需要使用后续未受损的数据包进行控制。因此，通信链路可能遭受时变且非均匀的通信延迟。受[44]启发，我们证明了时变延迟存在一个上界，使得内部稳定性始终能够得到保证。该上界为通信网络设计和服务质量保障提供了重要指导。

定理5.9 ：若车辆队列(11)渐近稳定，且 $\tilde{A}$为 Hurwitz矩阵，并存在上界 $\bar{\iota}$，使得当所有通信链路上的时变延迟 $\iota_{ij}(t)$满足 $0 \leq \iota_{ij}(t) < \bar{\iota}$时， $\bar{\iota}$成立。
$$
\bar{\iota} < \frac{\lambda_{\min}(Q)}{\lambda_{\max}(F)},
$$
其中对于任意 $Q \succ 0$ 和$Q = Q’$，均存在一个 $O \succ 0$ 使得 $O\tilde{A} + \tilde{A}’O = -Q$。
$$
F = \sum_{j=1}^{m}(O\tilde{A} {dj}\tilde{A}_0O^{-1}{\tilde{A} {dj}\tilde{A} 0}‘O + cO) + \sum {j=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}(O\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}O^{-1}{\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}}‘O + c^2O),
$$
证明 ：设 m为通信链路总数。然后，可以推断
$$
\dot{x}(t) = \tilde{A} 0x(t) + \sum {i=1}^{m}\tilde{A} {di}x(t - \iota {di}(t)),
$$
其中$\tilde{A} {di}$ 是对应于第 $i$个通信链路的矩阵。根据莱布尼茨‐牛顿公式，我们有
$$
x(t - \iota {di}(t)) = x(t) - \int_{0}^{-\iota_{di}(t)}\dot{x}(t+\varsigma)d\varsigma = x(t) - \int_{0}^{-\iota_{di}(t)}(\tilde{A} 0x(t+\varsigma) + \sum {i=1}^{m}\tilde{A} {di}x(t+\varsigma - \iota {di}(t+\varsigma)))d\varsigma.
$$
因此，成立
$$
\dot{x}(t) = \tilde{A} 0x(t) + \sum {j=1}^{m}\tilde{A} {dj}x(t - \iota {dj}(t)) = \tilde{A} 0x(t) + \sum {j=1}^{m}\tilde{A} {dj}x(t) - \sum {j=1}^{m}\tilde{A} {dj}\tilde{A}_0\int {0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma)d\varsigma - \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}\int_{0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma - \iota_{di}(t+\varsigma))d\varsigma.
$$
由于 $\tilde{A}$是Hurwitz的，对于任意 $Q \succ 0$和 $Q = Q’$，存在 $O \succ 0$使得 $O\tilde{A} + \tilde{A}’O = -Q$。令 $V(x(t)) = x(t)’Ox(t)$为候选李雅普诺夫函数。我们得到
$$
\dot{V}(x(t)) = x(t)’(O\tilde{A} + \tilde{A}’O)x(t) - \sum_{j=1}^{m}2x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A}_0\int {0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma)d\varsigma - \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}2x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}\int_{0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma - \iota_{di}(t+\varsigma))d\varsigma.
$$
设$\tilde{a}’ = -x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A}_0$且 $\tilde{c} = x(t+\varsigma)$。由于对任意 $\Upsilon \succ 0$均有 $2\tilde{a}’\tilde{c} \leq \tilde{a}’\Upsilon\tilde{a} + \tilde{c}’\Upsilon^{-1}\tilde{c}$，因此成立
$$
-\sum {j=1}^{m}2x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A}_0\int {0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma)d\varsigma \leq \sum_{j=1}^{m}(\iota_{dj}(t)x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A}_0O^{-1}{\tilde{A} {dj}\tilde{A} 0}‘Ox(t) + \int {0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma)’Ox(t+\varsigma)d\varsigma).
$$
类似地，
$$
-\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}2x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}\int_{0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma - \iota_{di}(t+\varsigma))d\varsigma \leq \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}(\iota_{dj}(t)x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}O^{-1}{\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}}‘Ox(t) + \int_{0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma - \iota_{di}(t+\varsigma))’Ox(t+\varsigma - \iota_{di}(t+\varsigma))d\varsigma).
$$
因此，可以得到
$$
\dot{V}(x(t)) \leq x(t)’(O\tilde{A} + \tilde{A}’O)x(t) + \sum_{j=1}^{m}[\iota_{dj}(t)x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A}_0O^{-1}{\tilde{A} {dj}\tilde{A} 0}‘Ox(t) + \int {0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma)’Ox(t+\varsigma)d\varsigma] + \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}(\iota_{dj}(t)x(t)’O\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}O^{-1}{\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}}‘Ox(t) + \int_{0}^{-\iota_{dj}(t)}x(t+\varsigma - \iota_{di}(t+\varsigma))’Ox(t+\varsigma - \iota_{di}(t+\varsigma))d\varsigma).
$$
我们选择一个连续的非减函数 $\phi_1(y) = cy$，其中 $c > 1$ 是一个恒定常数，以及一个连续的、非负的、非减函数 $\phi_2(y) = (\lambda_{\min}(Q) - \bar{\iota}\lambda_{\max}(F))y^2$，其中 $\lambda_{\min}(Q) - \bar{\iota}\lambda_{\max}(F) > 0$， $\lambda_{\min}(Q)$ 是 $Q$ 的最小特征值，而 $\lambda_{\max}(F)$ 是以下矩阵的最大特征值
$$
F = \sum_{j=1}^{m}(O\tilde{A} {dj}\tilde{A}_0O^{-1}{\tilde{A} {dj}\tilde{A} 0}‘O + cO) + \sum {j=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}(O\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}O^{-1}{\tilde{A} {dj}\tilde{A} {di}}‘O + c^2O).
$$
当 $V(x(t+\varsigma)) < \phi_1(V(x(t)) = cV(x(t))$ 对于 $-\bar{\iota} \leq \varsigma \leq 0$ 且 $V(x(t+\varsigma -\iota_{di}(t + \varsigma))) < \phi_1(V(x(t+\varsigma))) = cV(x(t+\varsigma))$ 对于 $-\bar{\iota} \leq \iota_{di}(t + \varsigma) \leq 0$ 时，我们有对于 $-\bar{\iota} \leq \varsigma \leq 0, V(x(t+\varsigma -\iota_{di}(t + \varsigma))) < c^2V(x(t))$，对所有 $-\bar{\iota} \leq \iota_{di}(t + \varsigma) \leq 0$ 成立。因此，我们有
$$
\dot{V}(x(t)) \leq -(\lambda_{\min}(Q)-\bar{\iota}\lambda_{\max}(F))|x(t)|^2 = -\phi_2(|x(t)|),
$$
证明完毕。 □

注释5.10 ：请注意，通信延迟的上界取决于车辆编队的通用信息流拓扑、对应于第 i个通信链路的矩阵 $\tilde{A}_{di}$中的元素（即通信信息的权重）以及局部状态。尽管我们可以得到通信延迟边界的解析表达式，但由于该表达式与多个变量耦合，因此很难以参数设置范围的形式显式地表示出来。设计有效的数值方法来获得最大时延 $\bar{\iota}$是一个有趣的方向，这将作为我们的未来工作之一。

D. 弦稳定性分析

在本部分中，我们研究扰动是否以及如何在上述给定的车辆队列协议中传播。我们首先考虑理想通信的情况，然后将结果推广到所有通信链路上的时间延迟为恒定且一致的情形。

1) 理想通信情况

由(5)可得
$$
e_i(t) = q_{i-1}(t) - q_i(t) - hv_i(t), \quad \dot{e} i(t) = v {i-1}(t) - v_i(t) - ha_i(t), \quad \ddot{e} i(t) = a {i-1}(t) - a_i(t) - h\dot{a} i(t).
$$
然后，对于 $r < i < n - l$，通过对输入求导，我们得到
$$
\dot{u} {pr}^i(t) = \sum_{\eta=1}^{r} A_{i(i-\eta)}(k_q(v_{i-\eta}(t) - v_i(t) - \sum_{j=i-\eta+1}^{i}ha_j(t)) + k_v(a_{i-\eta}(t) - a_i(t)) + k_a(\dot{a} {i-\eta}(t) - \dot{a}_i(t))),
$$
and
$$
u {pr}^i(t) = \sum_{\eta=1}^{r} A_{i(i-\eta)}(k_q(q_{i-\eta}(t) - q_i(t) - \sum_{j=i-\eta+1}^{i}hv_j(t)) + k_v(v_{i-\eta}(t) - v_i(t)) + k_a(a_{i-\eta}(t) - a_i(t))).
$$
对于车辆 $i -1$，有
$$
u_{pr}^{i-1}(t) = \sum_{\eta=1}^{r} A_{(i-1)(i-1-\eta)}(k_q(q_{i-1-\eta}(t) - q_{i-1}(t) - \sum_{j=i-\eta}^{i-1}hv_j(t)) + k_v(v_{i-1-\eta}(t) - v_{i-1}(t)) + k_a(a_{i-1-\eta}(t) - a_{i-1}(t))).
$$
然后，由$u_{pr}^{i-1}(t) + u_{fl}^{i-1}(t) - (u_{pr}^i(t) + u_{fl}^i(t)) - h(\dot{u} {pr}^i(t) + \dot{u} {fl}^i(t))$ 和 $u_i(t) = \tau \dot{a} i(t) + a_i(t)$，可得表征距离误差之间关系的方程如下
$$
\tau \ddot{e}_i(t) + \dddot{e}_i(t) = \sum {\eta=1}^{r} A_{i(i-\eta)}(k_q(e_{i-\eta}(t) - e_i(t) - \sum_{j=i-\eta+1}^{i}h\dot{e} j(t)) + k_v(\dot{e} {i-\eta}(t) - \dot{e} i(t)) + k_a(\ddot{e} {i-\eta}(t) - \ddot{e} i(t))) + \sum {\eta=1}^{l} A_{i(i+\eta)}(k_q(e_{i+\eta}(t) - e_i(t) + \sum_{j=i+1}^{i+l}h\dot{e} j(t)) + k_v(\dot{e} {i+\eta}(t) - \dot{e} i(t)) + k_a(\ddot{e} {i+\eta}(t) - \ddot{e} i(t))).
$$
对(18)式两边取拉普拉斯变换
$$
\tau s^3e_i(s) + s^2e_i(s) = \sum {j=i-l,j=i}^{i+l}(k_q e_j(s) + k_vs e_j(s) + k_as^2 e_j(s)) - (r+ l)(k_q e_i(s) + k_vs e_i(s) + k_as^2 e_i(s)) - \sum_{j=i-r}^{i-1}\sum_{\eta=j+1}^{i}k_q h s e_\eta(s) + \sum_{j=i+1}^{i+l}\sum_{\eta=i+1}^{j}k_q h s e_\eta(s)
$$
因此，我们得到
$$
e_i(s) = \sum_{j=i-r,j=i}^{i+l} H_{ij}(s)e_j(s)
$$
其中 $H_{ij}$可显式地写为
$$
H_{ij}(s) =
\begin{cases}
\frac{k_a s^2 + (k_v - k_q h (r - (i - j))) s + k_q}{\tau s^3 + (\varphi k_a +1) s^2 + (\varphi k_v + r k_q h) s + \varphi k_q}, & i - r \leq j \leq i -1 \
\frac{k_a s^2 + (k_v + k_q h (l - (j - i - 1))) s + k_q}{\tau s^3 + (\varphi k_a +1) s^2 + (\varphi k_v + r k_q h) s + \varphi k_q}, & i+ 1 \leq j \leq i+ l \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
其中 $\varphi = r + l$。对于每个节点 $r \leq i \leq n - l$，$H_{ij}(s)$ 仅依赖于 $j$ 和 $i$之间的相对值。

定义5.11 ：如果
$$
|e_i(t)| 2^2 \leq \frac{1}{r+l} \sum {j=i-r,j=i}^{i+l} |e_j(t)| 2^2
$$
其中$|e_i(t)|_2^2 = \int {-\infty}^{\infty} |e_i(t)|^2 dt$，则实现弦稳定性。

接下来，我们考虑以下充分条件以保证 L2‐串稳定性。

引理5.12 ：若成立
$$
|H_{ij}(i\omega)|_\infty \leq \frac{1}{r+l}, \quad \forall j - r \leq j \leq j+ l, j= i,
$$
那么L2‐弦稳定性（22）得以实现。

定理5.13 ：如果对于所有j，以下条件之一成立
1) ： $\alpha_2 \geq 0$ & $\alpha_3 \geq 0$,
2): $\alpha_2 < 0$ & $\alpha_3 \geq 0$ & $4\alpha_3\alpha_1 - \alpha_2^2 \leq 0$
其中
$$
\alpha_1 = \tau^2, \quad \alpha_2 = (\varphi k_a + 1)^2 - 2\tau(\varphi k_v + r k_q h) - \varphi^2 k_a^2, \quad \alpha_3 = (\varphi k_v + r k_q h)^2 - 2\varphi k_q + \varphi^2 g(j)
$$
$$
g(j) =
\begin{cases}
(k_v - k_q h(r - j))^2, & 1 \leq j \leq r \
(k_v + k_q h(l - j))^2, & 0 \leq j \leq l - 1
\end{cases}
$$
那么L2‐弦稳定性（22）得以实现。

2) 具有恒定且均匀延迟的情况

我们在此分析通信延迟对弦稳定性能的影响。考虑连接相邻智能体的通信链路在时间上具有恒定且一致的延迟场景。这是一个合理的假设。例如，当通信网络中的延迟是时变但