26、路径划分参数化研究

路径划分参数化研究

在图论和算法领域，路径划分问题一直是研究的热点。本文将深入探讨路径划分问题的参数化复杂性，包括NP难问题、W[1]难问题、XP算法以及基于邻域多样性和对偶参数化的FPT算法等内容。

1. NP难问题

对于图的路径划分问题，有如下重要结论：
- 推论 ：SPC（最短路径覆盖）问题即使对于直径为4的二分5 - 退化图也是NP难的。这里，一个图是d - 退化的，如果它的每个诱导子图都有一个度至多为d的顶点。

2. W[1]难问题

在参数化问题中，自然或标准的参数化通常是解的大小。对于路径划分问题，我们通过划分中路径数量的上界来进行参数化。然而，研究结果表明，对于所考虑的各种变体，都不太可能得到FPT（固定参数可解）结果。
- 定理 ：SPP（最短路径划分）问题在有向无环图（DAG）上以解的大小为参数时是W[1]难的。
- 证明思路 ：通过从团问题（Clique）到DAG上的SPP问题进行参数化归约来证明。给定团问题的一个实例$(G, k)$，其中$k \in N$且$G = (V, E)$，我们构造一个等价的SPP问题实例$(G’, k’)$，其中$G’$是一个DAG，$k’ = \frac{k \cdot (k - 1)}{2} + 3k$。
- 构造概述 ：创建一个$k \times n$的相同小装置数组，每个小装置代表原始图中的一个顶点。如果SPP实例$(G’, k’)$是一个肯定实例，那么每一行都有一个所谓的选择器路径，它遍历一行中除一个小装置外