62、基于稀疏秘密封装实现近似同态加密的低失败概率引导

基于稀疏秘密封装实现近似同态加密的低失败概率引导

1. 引言

同态加密允许在加密数据上进行计算，而无需先解密，这在保护数据隐私的同时实现了数据处理。CKKS（Cheon-Kim-Kim-Song）方案是一种流行的近似同态加密方案，可对复数向量进行近似算术运算。

1.1 CKKS 方案

CKKS 方案是一种基于环学习误差（R - LWE）的分层同态加密方案。其主要的加密参数包括多项式环的次数 $N$ 和模数 $Q$。对于给定的安全参数 $\lambda$ 和固定的 $N$，可以得出 $Q$ 的上限，较小的 $Q$ 会使方案更安全。

新生成的 CKKS 密文形式为 $(c_0, c_1) = (-as + m + e, a) \in R_Q^2$，其中 $a$ 是随机多项式，$s$ 和 $e$ 是低范数的秘密多项式，$m$ 是消息多项式。解密时，通过计算 $\langle (c_0, c_1), (1, s) \rangle = m + e$ 得到结果。

消息 $m$ 在模数 $Q$（最大级别）下加密，每次乘法操作会消耗一个级别并减小模数 $Q$ 的大小。因此，$Q$ 的上限决定了新密文的最大同态计算能力（即最大电路深度）。当密文达到最小模数 $q$ 时，可以通过引导操作将其恢复到较大的模数，从而实现任意深度电路的计算。

1.2 引导操作

CKKS 方案的引导操作最初由 Cheon 等人提出，主要包括以下四个步骤：
1. ModRaise ：将当前处于最小模数 $q$ 的密文提升到最大模数 $Q$。
2. CoeffsTo