26、图嵌入方法与3D虚拟物理实验室系统介绍

图嵌入方法与3D虚拟物理实验室系统介绍

1. 图嵌入方法概述

图嵌入是一种映射方式，用于观察一个特定图 $G_1$ 是否包含在另一个图 $G_2$ 的结构中，以及它们之间的相互关系。图 $G_1$ 到图 $G_2$ 的嵌入可以定义为一个函数 $f = (ø, ρ)$，其中 $ø$ 是将 $G_1$ 中的每个顶点映射到 $G_2$ 中的每个顶点的函数，$ρ$ 是将 $G_1$ 中的边 $e = (v, w)$ 映射到 $G_2$ 中连接节点 $ø(v)$ 和 $ø(w)$ 的路径的函数。

常用的评估图嵌入方法成本的参数有扩张率（dilation）、拥塞率（congestion）和扩展率（expansion）：
- 扩张率 ：当 $G_1$ 中的边 $e$ 映射到 $G_2$ 中的边时，$G_2$ 中路径 $ρ(e)$ 的长度，嵌入 $f$ 的扩张率是 $G_1$ 中所有边映射时能得到的扩张率的最大值。
- 拥塞率 ：$G_2$ 中边 $e’$ 包含的 $ρ(e)$ 的数量，嵌入 $f$ 的拥塞率是 $G_2$ 中所有边拥塞率的最大值。
- 扩展率 ：嵌入 $f$ 的扩展率是 $G_2$ 中顶点数量与 $G_1$ 中顶点数量的比值。

2. 不同图之间的嵌入定理及证明

2.1 定理1：冒泡排序图 $B_n$ 嵌入煎饼图 $P_n$

冒泡排序图 $B_n$ 可以以扩张率为 3 和扩展率为 1 嵌入煎饼图 $P_n$。

证明过程将 $B_n$ 的边按维度分为三种情况：
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