数据结构中多维数组实现与优化的核心知识，尤其在科学计算、稀疏数据处理和大型矩阵操作中具有重要意义

一、数组存储地址计算

1. 行主序优先存储
   公式：Loc(a_ij) = Loc(a_11) + [(i-1)×n + (j-1)]×L
   说明：在按行优先存储的二维数组中，元素 a_ij 的地址由以下几部分构成：

   • 起始地址 Loc(a_11)
   • 前 i-1 行所占的元素个数（每行有 n 列）
   • 当前行前 j-1 个元素
   • 每个元素占用 L 个存储单元

2. 列主序优先存储
   公式：Loc(a_ij) = Loc(a_11) + [(j-1)×m + (i-1)]×L
   说明：在按列优先存储时，先依次存放每一列。因此：

   • 前 j-1 列共包含 (j-1)×m 个元素（每列有 m 行）
   • 第 j 列中前 i-1 行的元素
   • 同样乘以每个元素大小 L 得到偏移量

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二、特殊矩阵的压缩存储

1. 对称矩阵
   定义：满足 a_ij = a_ji 的 n 阶方阵。
   压缩方式：只存储下三角（包括对角线）部分，共需存储 n(n+1)/2 个元素。
   映射公式（映射到一维数组 B[k]）：

   • 若 i ≥ j（下三角或对角线）：k = i(i-1)/2 + j
   • 若 i < j（上三角）：利用对称性转换为 a_ji，即 k = j(j-1)/2 + i

2. 对角矩阵
   定义：非零元素仅分布在主对角线附近的一个带状区域内（如三对角矩阵）。
   压缩方式：仅存储带状区域内的元素。例如三对角矩阵每行最多3个非零元，总存储量约为 3n - 2。
   映射方法（以三对角为例）：将第 i 行的三个元素分别对应到一维数组中的特定位置，常用公式为：

   • k = 2(i-1) + (j-i+1) - 1 = 2i + j - 4（具体依编号方式而定）

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补充说明：
这些内容属于数据结构中多维数组实现与优化的核心知识，尤其在科学计算、稀疏数据处理和大型矩阵操作中具有重要意义。掌握地址映射关系有助于理解底层内存布局，提升程序效率。
行主序（Row-major Order）和列主序（Column-major Order）是两种不同的二维数组在内存中存储的顺序方式，它们导致了地址计算公式的差异。下面我们从存储逻辑出发，逐步推导并解释这两种公式为何不同。

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1. 基本设定

设有一个 m × n 的二维数组（即 m 行 n 列），每个元素占用 L 个存储单元，起始地址为 Loc(a_11)，我们要计算元素 a_ij（第 i 行第 j 列）的存储地址。

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2. 行主序优先存储（Row-major Order）

存储顺序：

• 先存第1行的所有元素：a₁₁, a₁₂, …, a₁ₙ
• 再存第2行的所有元素：a₂₁, a₂₂, …, a₂ₙ
• …
• 最后存第i行

推导过程：

要找到 a_ij 的位置，需统计在它之前已经存储了多少个元素：

• 前 i-1 行，每行有 n 个元素 → 共 (i-1) × n 个元素
• 当前行（第 i 行）前有 j-1 个元素
• 总共前面有：(i-1)×n + (j-1) 个元素
• 每个元素占 L 字节 → 偏移量为 [(i-1)×n + (j-1)] × L

✅ 所以地址公式为：

Loc(a_ij) = Loc(a_11) + [(i-1)×n + (j-1)] × L

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3. 列主序优先存储（Column-major Order）

存储顺序：

• 先存第1列的所有元素：a₁₁, a₂₁, …, aₘ₁
• 再存第2列的所有元素：a₁₂, a₂₂, …, aₘ₂
• …
• 最后存第j列

推导过程：

同样地，找 a_ij 之前的元素总数：

• 前 j-1 列，每列有 m 个元素 → 共 (j-1) × m 个元素
• 当前列（第 j 列）前有 i-1 个元素（上面 i-1 行）
• 总共前面有：(j-1)×m + (i-1) 个元素
• 偏移量为：[(j-1)×m + (i-1)] × L

✅ 所以地址公式为：

Loc(a_ij) = Loc(a_11) + [(j-1)×m + (i-1)] × L

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4. 核心差异对比

项目	行主序（Row-major）	列主序（Column-major）
存储单位	整行连续存放	整列连续存放
主变化维度	行在外层循环，列在内层	列在外层循环，行在内层
地址偏移基础	按“跳过多少行”计算	按“跳过多少列”计算
公式结构	(i-1)*n + (j-1)	(j-1)*m + (i-1)

🔍 关键点：谁是外层循环，谁就决定“大块”的排列方式。

• 行主序：行是“大块”，所以先乘行数相关项
• 列主序：列是“大块”，所以先乘列数相关项

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5. 举例验证

假设一个 3×4 数组（3行4列），L=1，Loc(a₁₁)=0

求 a₂₃ 的地址：

• 行主序：
  Loc = 0 + [(2-1)*4 + (3-1)] = 4 + 2 = 6

• 列主序：
  Loc = 0 + [(3-1)*3 + (2-1)] = 6 + 1 = 7

说明同一元素在不同存储方式下地址不同，体现了存储顺序的影响。

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✅ 结论：

行主序与列主序地址公式之所以不同，根本原因在于数据在内存中的物理排列顺序不同：

• 行主序按“行”为单位连续存放 → 地址增长依赖于列宽 n
• 列主序按“列”为单位连续存放 → 地址增长依赖于行高 m

这种差异直接影响程序访问效率（局部性原理）、语言设计（如C用行主序，Fortran用列主序）以及算法性能优化。