KMP（Knuth-Morris-Pratt）算法是一种高效的字符串匹配算法，其核心思想是**避免在主串中回溯指针**

KMP（Knuth-Morris-Pratt）算法是一种高效的字符串匹配算法，其核心思想是避免在主串中回溯指针，通过预处理模式串生成 next 数组来指导匹配失败时模式串的滑动位置。匹配过程中：

• 初始化两个指针：i 指向主串 S 的当前字符，j 指向模式串 P 的当前字符（初始均为 0）。
• 当 S[i] == P[j] 时，双方指针同时后移继续比较。
• 当 S[i] != P[j] 时，不移动主串指针 i，而是将模式串指针 j 更新为 next[j]，即 j = next[j]，表示利用已知的最长相等前后缀长度跳过不必要的比较。
• 若 j == -1（或某些实现中为 0），说明模式串已退回到起始位置，此时将 i 和 j 都加 1，进入下一轮匹配。
• 一旦 j 达到模式串长度，则匹配成功，返回匹配起始位置。

其中，next[j] 表示模式串中前 j 个字符构成的子串的最长相等真前后缀的长度。该数组可在 O(m) 时间内预处理得到。

---

数组是数据结构中的基本多维存储结构，其特点如下：

• 定长性：创建时确定维度和大小，运行期间不可更改。
• 同构性：所有元素类型相同，存储结构一致。
• 线性扩展：一维数组是线性表；二维数组可看作“其元素也为线性表”的线性表，例如 A[m][n] 可视为 m 个长度为 n 的行向量组成的线性表。
• 随机访问：通过下标可在 O(1) 时间内计算地址访问元素（按行/列优先映射到一维内存）。

矩阵常以二维数组表示，而广义表则是更灵活的递归结构，允许元素为原子或子表，是树与图等非线性结构的基础抽象。

---

KMP 算法提升了朴素匹配的效率（从 O(nm) 到 O(n+m)），而数组作为基础结构支撑了矩阵压缩（如稀疏矩阵的三元组表示）、广义表的存储实现等高级主题。
构造 KMP 算法中的 next 数组，本质是对模式串本身进行“自我匹配”，求出每个位置前缀的最长相等真前后缀（即：最长的、不等于自身的前缀与后缀相等的部分）的长度。next[j] 表示当模式串 P[j] 匹配失败时，新的匹配起点位置。

---

✅ 构造 next 数组的具体步骤

设模式串为 P，长度为 m，next[0] = -1 或 0（取决于实现方式），我们采用常见的一种：

• next[j] 表示子串 P[0..j-1] 的最长相等真前后缀的长度。
• 使用双指针法构造：

def compute_next(P):
    m = len(P)
    next = [0] * m        # 初始化 next 数组
    next[0] = -1          # 第一个字符无前缀，设为 -1
    j, k = 0, -1          # j: 当前位置；k: 上一次最长前后缀长度（也作匹配指针）
    
    while j < m - 1:
        if k == -1 or P[j] == P[k]:
            j += 1
            k += 1
            next[j] = k   # 若 P[j]==P[k]，则 next[j+1] = k+1
        else:
            k = next[k]   # 不匹配则回退 k
    return next

---

📘 示例：模式串 P = "ababaa"

我们要为 "ababaa" 构造 next 数组。

j（下标）	字符	解释说明	next[j]
0	a	首字符，定义为 -1	-1
1	b	子串 “a”：无公共前后缀 → 0	0
2	a	子串 “ab”：前缀{a}, 后缀{b} → 无公共 → 0	0
3	b	子串 “aba”：前缀 a, ab；后缀 a, ba → 最长公共为 “a” → 长度 1	1
4	a	子串 “abab”：前缀 a,ab,aba；后缀 bab,ab,b → 公共 “ab” → 长度 2	2
5	a	子串 “ababa”：前缀中 a,aba；后缀中 aba,a → 最长 “aba” → 长度 3	3

所以最终 next = [-1, 0, 0, 1, 2, 3]

注意：有些教材将 next[0] 设为 0 并整体偏移，但逻辑一致。

---

🔍 next 数组的作用直观理解

例如在匹配过程中，若 P[5]='a' 失败，j = next[5] = 3，意味着我们可以跳到 P[3] 继续比较，因为前面已有长度为 3 的公共前后缀 "aba"，无需重新从头开始。

---

💡 小结

• next 数组基于模式串自身结构构建。
• 核心思想：利用已知的“最长相等前后缀”避免无效匹配。
• 时间复杂度：O(m)，空间复杂度：O(1) 辅助变量。

---