第3课乘法和逆矩阵

最新推荐文章于 2024-08-05 23:52:49 发布

blacksean

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第3课乘法和逆矩阵

矩阵的乘法的第一种解释

思考一个矩阵的乘法

AB=C

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ r o w 1 r o w 2 r o w 3 r o w 4 . . r o w n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ c o l u m n 1 . . . . c o l u m n 2 . . . . c o l u m n 3 . . . . c o l u m n 4 . . . . . . . . . . c o l u m n n . . . . ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = C

$\begin{bmatrix} row1&..&.. \\ row2&..&.. \\ row3&..&.. \\ row4&..&.. \\ ..&..&.. \\ rown&..&.. \end{bmatrix} \begin{bmatrix} column1&column2&column3&column4&..&columnn \\ ..&..&..&..&..&.. \\ ..&..&..&..&..&.. \end{bmatrix}= C$
想像一下

C34 $C_{34}$ (第3行第4列的那个元素)等于什么？

C 34 = (r o w 3 o f A) \cdot (c o l u m n 4 o f B) = a 31 b 14 + a 32 b 24 + . . . + a 3 n b n 4 = \sum k = 1 n a 3 k b k 4

$C_{34}=(row3\ of\ A)·(column4\ of\ B)=a_{31}b_{14}+a_{32}b_{24}+...+a_{3n}b_{n4}= \sum_{k=1}^na_{3k}b_{k4}$

那么什么样的矩阵才能相乘呢？不一定是方阵
如果A是一个 $m \times n$ 的矩阵，B是一个 $n \times p$ 的矩阵，那么AB就可以做乘法。其结果是一个 $m \times p$ 的矩阵。

第二、三种矩阵乘法的解释

用上式的结果将C矩阵补全如下：

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ \sum k = 1 n a 1 k b k 1 \sum k = 1 n a 2 k b k 1 . . \sum k = 1 n a m k b k 1 \sum k = 1 n a 1 k b k 2 \sum k = 1 n a 2 k b k 2 . . \sum k = 1 n a m k b k 2 \sum k = 1 n a 1 k b k 3 \sum k = 1 n a 2 k b k 3 . . \sum k = 1 n a m k b k 3 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} \sum_{k=1}^na_{1k}b_{k1}&\sum_{k=1}^na_{1k}b_{k2}&\sum_{k=1}^na_{1k}b_{k3} \\ \sum_{k=1}^na_{2k}b_{k1}&\sum_{k=1}^na_{2k}b_{k2}&\sum_{k=1}^na_{2k}b_{k3} \\ ..&..&.. \\ \sum_{k=1}^na_{mk}b_{k1}&\sum_{k=1}^na_{mk}b_{k2}&\sum_{k=1}^na_{mk}b_{k3} \end{bmatrix}$

C中的每一列可以看作是都是A中所有列向量的一种线性组合。

把 $A_{1}$ 记作A矩阵的第一列和列向量， $C_{1}$ 记作C矩阵的第一行的行向量：

A 1 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 . . a m 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, A 2 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 12 a 22 . . a m 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . . . A n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 1 n a 2 n . . a m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$A_1 = \begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ ..\\ a_{m1}\\ \end{bmatrix}, A_2 = \begin{bmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ ..\\ a_{m2}\\ \end{bmatrix}... A_n = \begin{bmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ ..\\ a_{mn}\\ \end{bmatrix}$

B 1 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 11 b 21 . . b n 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$B_1 = \begin{bmatrix} b_{11}\\ b_{21}\\ ..\\ b_{n1}\\ \end{bmatrix}$

C的第1列 $C_1$

C 1 = A B 1 = [A 1 A 2 . . A n] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 11 b 21 . . b n 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ =

$C_1 = AB_1= \begin{bmatrix}A_1&A_2&..&A_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\\..\\b_{n1}\end{bmatrix} =$

b 11 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 . . a m 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ + b 21 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 12 a 22 . . a m 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . . . + b n 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 1 n a 2 n . . a m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ \sum k = 1 n a 1 k b k 1 \sum k = 1 n a 2 k b k 1 . . \sum k = 1 n a m k b k 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$b_{11}\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ ..\\ a_{m1}\\ \end{bmatrix}+ b_{21}\begin{bmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ ..\\ a_{m2}\\ \end{bmatrix}...+ bn1\begin{bmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ ..\\ a_{mn}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^na_{1k}b_{k1}\\ \sum_{k=1}^na_{2k}b_{k1}\\ ..\\ \sum_{k=1}^na_{mk}b_{k1}\\ \end{bmatrix}$

C中的每一行都是B中所有行向量的一种线性组合。类似的

B 1 = [b 11 b 12 b 13]

$B_1 = \begin{bmatrix} b_{11}& b_{12}& b_{13} \end{bmatrix}$

B 2 = [b 21 b 22 b 23]

$B_2 = \begin{bmatrix} b_{21}& b_{22}& b_{23} \end{bmatrix}$

. . .

$...$

B n = [b n 1 b n 2 b n 3]

$B_n = \begin{bmatrix} b_{n1}& b_{n2}& b_{n3} \end{bmatrix}$

A 1 = [a 11 a 12 . . a 1 n]

$A_1=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&..&a_{1n} \end{bmatrix}$

记C的第1行为 $C_1$

C 1 = a 11 [b 11 b 12 b 13]

$C_1 = a_{11}\begin{bmatrix} b_{11}& b_{12}& b_{13} \end{bmatrix}$

+ a 12 [b 21 b 22 b 23]

$+ a_{12}\begin{bmatrix} b_{21}& b_{22}& b_{23} \end{bmatrix}$

. . . + a 1 n [b n 1 b n 2 b n 3]

$...+ a_{1n}\begin{bmatrix} b_{n1}& b_{n2}& b_{n3} \end{bmatrix}$

= [\sum k = 1 n a 1 k b k 1 \sum k = 1 n a 1 k b k 2 \sum k = 1 n a 1 k b k 3]

$= \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^na_{1k}b_{k1}&\sum_{k=1}^na_{1k}b_{k2}&\sum_{k=1}^na_{1k}b_{k3} \end{bmatrix}$

第四种矩阵乘法的解释：列乘以行

如果是(column of A) $\times$ (row of B)，假设A是一个m $\times$ 1,B是1 $\times$ p的矩阵。则结果将是一个m $\times$ p的矩阵。

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 234 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ [16] = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 234121824 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} 2\\3\\4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2&12\\ 3&18\\ 4&24 \end{bmatrix}$

我们总结如下:
AB = Sum of (( cols of A) $\times$ (rows of B))

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 234789 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ [1060] = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 234 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ [16] + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 789 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ [00] = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 234121824 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} 2&7\\3&8\\4&9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6\\0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\3\\4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 7\\8\\9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2&12\\ 3&18\\ 4&24 \end{bmatrix}$

第五种矩阵乘法的解释：分块矩阵 (Bolck Multiplication)

将A分成四块:
A= $\begin{bmatrix} A1&A2\ A3&A4 \end{bmatrix}$

将B也分成四块:
B= $\begin{bmatrix} B1&B2\ B3&B4 \end{bmatrix}$

则 $AB= \begin{bmatrix} A_1&A_2\\ A_3&A_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1&B_2\\ B_3&B_4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A_1B_1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\ A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4 \end{bmatrix}$

逆 Inverse

先讨论方阵(square matrix)。
$A^{-1}A=I$ 。这里不予证明，如果方阵A的左逆存在( $A^{-1}A=I$ )，那它的右逆( $AA^{-1}=I$ )也存在，且右逆等于左逆。
这种矩阵称为可逆的(Invertible)或非奇异的(non-singular)。

下面讨论奇异的情况，不可逆(No inverse)。下面这个 $2\times2$ 的矩阵没有逆矩阵。

A = [1236]

$A=\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&6\\ \end{bmatrix}$

考虑为什么A不可能有逆矩阵。

逆矩阵的第一种解释

如果存在 $AA^{-1}=I$ ，那么 $I$ 中的每一列都来自于A中所有列的线性组合。而 $I$ 的两列分别 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 、 $\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$ ，它不可能组合出 $I$ 中的第一列 $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 因为，它俩共线。

逆矩阵的第二种解释

如果存在一个非0向量X，使的 $AX=0$ ，那么A就是不可逆的。

证明很简单，反证法。如果存在，则 $A^{-1}AX=0A^{-1}$ ，那么X=0。与假设矛盾。

如上例

A X = [1236] [3 - 1] = [00]

$AX=\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&6\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\-1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$

矩阵逆的求解

设 $A=\begin{bmatrix} 1&3\ 2&7 \end{bmatrix}$ ，我们该如何才能找到 $A^{-1}$ 。

假设 $A^{-1}=\begin{bmatrix} a&c\ b&d \end{bmatrix}$

则，用列相乘的思路来解 $A^{-1}$

{1 a + 3 b = 1 2 a + 7 b = 0

$\begin{cases} 1a+3b=1 \\ 2a+7b=0 \end{cases}$

{1 c + 3 d = 0 2 c + 7 d = 1

$\begin{cases} 1c+3d=0 \\ 2c+7d=1 \end{cases}$

另一种解法叫Gauss-Jordan Elimnition(他可以同时解两个方程)。

$\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$

另一个是
$\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$

Gauss-Jordan消元法则是一起来。两式的增广矩阵合起来。

[12371001]

$\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 2&7&0&1 \end{array} \right]$

然后利用高斯法进行消元，左侧矩阵变为 $I$ ，则右侧矩阵就是我们想要的 $A^{-1}$

$\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\ 2&7&0&1 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 0&1&-2&1 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&7&-3\\ 0&1&-2&1 \end{array} \right]$