第6课 列空间和零向量

第6课 列空间和零向量

子空间

两个子空间的并集，不一定是一个子空间。

两个子空间的交集，一定是一个子空间。

举例，$R^3$中的两个子空间，过$\begin{bmatrix} 0\0\0 \end{bmatrix}$的平面P和过$\begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}$的直线L(L和P交于原点)。

问题1: $P \bigcup L$是子空间吗？
显然不是。

问题2：$P\bigcap L$是子空间？
他们的交集是$\begin{bmatrix} 0\0\0 \end{bmatrix}$，是子空间。

更一般点，对于任意的子空间，S和T，其交集$S \bigcap T$仍然是一个子空间。
解释：取$S \bigcap T$空间的两个向量，对其俩做任意的线性组合，由子空间的定义知，这个线性组合的结果即属于S也属于T，即属于$S \bigcap T$，所以$S \bigcap T$仍然是一个子空间。

矩阵列空间 Column space of a matrix

$A=\begin{bmatrix} 1&1&2\ 2&1&3\ 3&1&4\ 4&1&5 \end{bmatrix}$，它是一个$R^4$空间的矩阵，矩阵A的列空间是$R^4$的一个子空间。任意取三个列向量的线性组合就可以组成这个矩阵的列空间。

但是这个列空间有多大呢？它能充满整个