线性代数：矩阵消元与逆矩阵-优快云博客

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本篇博客介绍了线性代数中的矩阵消元法，详细阐述了如何通过消元法求解线性方程组，并讨论了增广矩阵、置换矩阵和逆矩阵的概念。此外，还探讨了矩阵乘法的性质，如结合律和交换律。

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第2课矩阵消元

Elimination 消元法。

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2

$\begin{cases} x+2y+z=2 \\ 3x+8y+z =12\\ 4y+z=2 \end{cases}$

A = 130284111

$A=\begin{matrix} 1&2&1 \\ 3&8&1 \\ 0&4&1 \end{matrix}$

消元法从第一行的第一个元素开始，称之为第一个主元(Pivot)。

Row2 = Row2- Row1*3。消元后(2,1)这个位置变为了0

A ‘ ‘ 1 ‘ 00 2 ‘ 2 ‘ 4 1 - 2 1

$A`\begin{matrix} `1`&2&1 \\ 0&`2`&-2 \\ 0&4&1 \end{matrix}$

然后检查(3,1)已经是0了。

然后以(2,2)为主元，消除(3,2)位置
Row3 = Row3 - 2*Row2

U = ‘ 1 ‘ 00 2 ‘ 2 ‘ 0 1 - 2 ‘ 5 ‘

$U=\begin{matrix} `1`&2&1 \\ 0&`2`&-2 \\ 0&0&`5` \end{matrix}$

有几个约定：

1、Pivot不能是0

2、当Pivot为0时，可以通过交换行来替换主元。

如果我们把主元位置的数稍作调整，这个方程就无解了。
比如 (2,2) = 6 (3,3)=-4
这时主元将会是0。

增广矩阵 Augment Matrix

A的增广矩阵就是把b也加上去

1302841112122

$\begin{matrix} 1&2&1&2 \\ 3&8&1&12 \\ 0&4&1&2 \end{matrix}$
U的增广矩阵同样经过 Row2 = Row2- Row1*3
和 Row3 = Row3 - 2*Row2

‘ 1 ‘ 00 2 ‘ 2 ‘ 0 1 - 2 ‘ 5 ‘ 26 - 10

$\begin{matrix} `1`&2&1&2 \\ 0&`2`&-2&6 \\ 0&0&`5`&-10 \end{matrix}$

将消元后的增广矩阵回代

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x + 2 y + z = 2 2 y - 2 z = 6 5 z = - 10

$\begin{cases} x+2y+z=2 \\ 2y-2z=6 \\ 5z=-10 \end{cases}$

可得解

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x = 2 y = 1 z = - 2

$\begin{cases} x=2\\ y=1\\ z=-2 \end{cases}$

Matrices

在上一节中我们把矩阵和一个列向量的乘法，看成是列向量中每一个元素对矩阵中每一列的线性组合。

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 345 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 3 * c o l u m n 1 4 * c o l u m n 2 5 * c o l u m n 3 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} ..&..&..\\ ..&..&..\\ ..&..&.. \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\ 4\\ 5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3*column1\\ 4*column2\\ 5*column3\\ \end{bmatrix}$

而对于行向量乘以矩阵

[127] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = [1 * r o w 1 2 * r o w 2 7 * r o w 3]

$\begin{bmatrix} 1&2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ..&..&..\\ ..&..&..\\ ..&..&.. \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1*row1&2*row2&7*row3 \end{bmatrix}$

那么问题来了，我们需要一个什么样的矩阵能使A->A`呢？
答案是下面这个矩阵

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 1 - 3 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 130284111 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 100224 1 - 2 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -3&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 3&8&1 \\ 0&4&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 0&2&-2 \\ 0&4&1 \end{bmatrix}$

我们将新引入的矩阵称为 $E_{21}$ ，因为他是为了消去(2,1)这个元素引入的

紧接着我们再来将第3列的(3,2)也消去。同样这次引入的矩阵称为 $E_{32}$

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 100 01 - 2 001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 100224 1 - 2 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 100220 1 - 2 5 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&-2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 0&2&-2 \\ 0&4&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 0&2&-2 \\ 0&0&5 \end{bmatrix}$

那么上述两个步骤可以用数学语言简单的描述为

E 32 (E 21 A) = U

$E_{32}(E_{21}A)=U$

矩阵乘法的一些性质

结合律(Associative law)

E 32 (E 21 A) = (E 32 E 21) A

$E_{32}(E_{21}A)=(E_{32}E_{21})A$

交换律

矩阵相乘并不符合

A B \neq B A

$AB≠BA$

Permutation 置换矩阵

Exchange rows 1 and 2(交换第一行和第2行)

[0110] [a c b d] = [c a d b]

$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c&d \\ a&b \end{bmatrix}$

Exchange rows 1 and 2(交换第一行和第2行)

[a c b d] [0110] = [b d a c]

$\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b&a \\ d&c \end{bmatrix}$

Invese 逆矩阵

想像一下 $\begin{bmatrix} 1&0&0 \ -3&1&0 \ 0&0&1 \end{bmatrix}$ 这个矩阵，经过什么变换可以变成 $\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ 呢？

第1行和第3行不变。第2行加上Row1*3就可以了啊。相当于乘以 $\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 3&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ 。

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 130010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 1 - 3 0 010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 3&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -3&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

我们称

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 3&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ 为 $E^{-1}$ (逆矩阵)。