普通高中课程标准实验教科书(选修)数学2-3_学习笔记

1、计数原理

从 n 个不同元素取出 m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement).

从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 $A_n^m$ 表示.

$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素合成一组,叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的一个组合(combination).

从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 $C_n^m$ 表示.

$A_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$.

$C_n^0=1$.

$C_n^m=C_n^{n-m}$

$C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$

1.1、二项式

二项式定理(binomial theorem):

$$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+...+C_n^n{b}^n$$

2、随机变量及其分布

2.1、离散型随机变量及其分布列

随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable).

所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量(discrete random variable).

概率分布列(probability distribution series),简称分布列.

X	0	1
P	1-p	p

如上表,随机变量 X 服从两点分布(two-point distribution),称 p=P(X=1) 为成功概率.

X	0	1	…	m
P	$\frac{C_M^0{C}_{N-M}^{n-0}}{C_M^n}$	$\frac{C_M^1{C}_{N-M}^{n-1}}{C_M^n}$	…	$\frac{C_M^m{C}_{N-M}^{n-m}}{C_M^n}$

如上表,随机变量 X 服从超几何分布(hypergeometric distribution).

2.2、二项分布及其应用

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 表示在事件 A 发生的条件下,事件 B发生的条件概率(conditional probability),其中 P(AB)表示 A 和 B 同时发生的概率.P(B|A) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

如果 B 和 C 是两个互斥事件,则有 $P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$.

若 $P(AB)=P(A)P(B)$,则称事件 A 与事件 B 相互独立(mutually independent).

一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验(independent and repeated trials).

一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则有 $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,...,n.$
此时称随机变量 X 服从二项分布(binomial distribution),记作 X ~$B(n,p)$,并称 p 为成功概率.

2.3、离散型随机变量的均值与方差

一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

X	$x_1$	$x_2$	…	$x_i$	…	$x_n$
P	$p_1$	$p_2$	…	$p_i$	…	$p_n$

则称 $E(x)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+...+x_i{p}_i+...+x_n{p}_n$ 为随机变量 X 的均值(mean) 或数学期望(mathematical expectation).

$E(aX+b)=aE(X)+b.$

若 X ~$B(n,p)$,则 E(X)=np.

设离散型随机变量 X 的分布列为

X	$x_1$	$x_2$	…	$x_i$	…	$x_n$
P	$p_1$	$p_2$	…	$p_i$	…	$p_n$

$D(X)={\sum }_{i=1}^n(x_i-E(X){)}^2{p}_i$,D(X) 为随机变量 X 的方差(variance),$\sqrt[]{D(X)}$ 为随机变量 X 的标准差(standard deviation).

若 X 服从两点分布,则 $D(X)=p(1-p)$;
若 X ~B(n,p),则 $D(X)=np(1-p)).

$D(aX+b)=a^{2}D(X)$.

2.4、正态分布

$${\phi }_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sqrt[]{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},x\in (-\infty ,+\infty )$$

其中 μ 和 σ(σ>0) 为参数,${\phi }_{\mu ,\sigma }(x)$ 的图像为正太分布密度曲线,简称正态曲线.

X 落在区间(a,b] 的概率为 $P(a<X\le b)={\int }_a^b{\phi }_{\mu ,\sigma }(x)dx$.

正太分布记作 $N(\mu ,{\sigma }^2)$,随机变量 X 服从正态分布,记为 X ~$N(\mu ,{\sigma }^2)$.

正态曲线特点:

• 曲线位于 x 轴的上方,与 x 轴不相交;
• 曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称;
• 曲线在 x=μ 处达到峰值 $\frac{1}{\sigma \sqrt[]{2\pi }}$;
• 曲线与 x 轴之间的面积为 1;

μ 反应随机变量取值的平均水平的特征数,曲线随着 μ 的变化沿 x 轴平移;
σ 越小,曲线越瘦高,总体分布越集中;σ 越大,曲线越矮胖,总体的分布越分散.

3、回归分析

• 样本点的中心;
• 随机误差;
• 解释变量;
• 预报变量;
• 残差;
• 独立性检验;

4、参考资料

普通高中课程标准实验教科书——数学2-3（选修）[ISBN 978-7-107-20171-4]