高中数学?简单递归

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import java.util.*;
class Cal{
	int a[]=new int[112];
	int n;
	int getNum() {
		a[1]=0;
		a[2]=1;
		for(int i=3;i<=n;i++) {
			a[i]=4*a[i-1]-5*a[i-2];
		}
		return a[n];
	}
	
}
public class Main{
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int t=sc.nextInt();
		for(int i=0;i<t;i++) {
			
			Cal cal=new Cal();
			cal.n=sc.nextInt();
			int sum=cal.getNum();
			System.out.println(sum);
			
		}
		sc.close();
	}
}
### 递归与数学归纳法的关系 递归的概念在计算机科学中广泛存在,其背后的数学基础正是数学归纳法[^1]。数学归纳法是一种用于证明关于自然数命题的方法,在高中阶段常应用于数列问题之中。通过两个主要步骤——基底情形(Base Case)和归纳假设(Inductive Hypothesis),能够验证某个性质对于所有正整数都成立。 #### 基础案例 (Base Case) 当处理递归问题时,定义好终止条件至关重要。这相当于数学归纳法里的初始情况,比如计算阶乘函数`factorial(n)`时,规定`factorial(0)=1`作为最简单的情形[^3]。 ```python def factorial(n): if n == 0: return 1 ``` #### 归纳假设 (Inductive Step) 在此之后,则需假定给定表达式对较小数值有效,并基于此构建更大规模实例下的解决方案。例如继续以阶乘为例: ```python if n > 0: return n * factorial(n - 1) ``` 上述过程展示了如何利用已知结果逐步扩展至更复杂的情况,从而形成完整的解题思路。 ### 序列与递归关系的应用 除了简单的算术运算外,许多涉及序列结构的问题也可以借助于递归来简化描述方式。典型的例子包括斐波那契数列(Fibonacci Sequence),其中每一项等于前两项之和;以及字符串或数组的操作,像反转字符顺序或者逐位访问元素等操作都可以采用类似的分治策略来进行编码实现。 ### 记忆化技术的重要性 值得注意的是,在某些情况下直接运用原始形式可能会遇到性能瓶颈甚至导致堆栈溢出错误。因此引入了记忆化的技巧来优化效率低下之处,尤其是在面对重复子问题频繁出现的情况下尤为明显。这种方法不仅限于传统意义上的编程领域,同样适用于设计具有长期依赖特性的模型架构,如递归神经网络(RNNs)[^4]。
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