跳台阶问题分析整理

本文详细解析了两种青蛙跳台阶的问题:一种允许青蛙一次跳跃任意阶数,另一种仅限于一次跳1阶或2阶。通过动态规划的方法,推导出了简洁有效的解决方案,并提供了具体的Java代码实现。

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一、变态跳台阶


题目描述


一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。




关于本题,前提是可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。
分析如下:
当target<=0,异常输入 直接return 0;
当target>=1,正常target输入:
f(0) = 1    表示从台阶底一次跳到第n级台阶
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) = f(1) + f(0)    //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) = f(2) + f(1) + f(0)
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 
     = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1) + f(0) 
具体说明: 
1)这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。
2)n = 1时,只有1种跳法,f(1) = 1
3) n = 2时,会有两个跳得方式,一次1阶或者2阶,这回归到了问题(1) ,f(2) = f(2-1) + f(2-2) 
4) n = 3时,会有三种跳得方式,1阶、2阶、3阶,
    那么就是第一次跳出1阶后面剩下:f(3-1);第一次跳出2阶,剩下f(3-2);第一次3阶,那么剩下f(3-3)
    因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n时,会有n中跳的方式,1阶、2阶...n阶,得出结论:
    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)    
6) 由以上已经是一种结论,但是为了简单,我们可以继续简化:
    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
    可以得出:
    f(n) = 2*f(n-1)
    
7) 得出最终结论,在n阶台阶,一次有1、2、...n阶的跳的方式时,总得跳法为:
              | 1       ,(n=0 ) 
f(n) =        | 1       ,(n=1 )
              | 2*f(n-1),(n>=2)


public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target <= 0) return 0;       
        else{
            int[] jump = new int[target + 1];            
            jump[1] = 1;                 
            for(int i = 2 ; i <= target ; i++){               
                jump[i] = 2 * jump[i - 1];
            }
            return jump[target];
        }
    }
}


前面是用常规的动态规划分析解题思路,当然了,还有一种针对本题的简便的解题思路:每个台阶都有跳与不跳两种情况(除了最后一个台阶),最后一个台阶必须跳,所以共有2的(n-1)次方中情况。

二、普通跳台阶



题目描述


一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target == 0) return 0;
        else if(target == 1) return 1;
        else if(target == 2) return 2;
        else{
           int[] jump = new int[target];
           jump[0] = 1;
           jump[1] = 2;
           for(int i = 2 ; i < target ; i++){
               jump[i] = jump[i - 1] + jump[i - 2];
           }
            return jump[target - 1];  
        }      
    }

}




















<think>好的,我现在需要解决用户关于Java实现青蛙台阶问题的递归和动态规划解决方案的查询。首先,我要回忆一下青蛙台阶问题的基本描述。根据引用[2]、[3]、[4],这个问题通常有两种情况:青蛙一次可以1级或2级台阶,求上n级台阶的方法数。而引用[4]提到更复杂的情况,青蛙可以上任意级数,但用户的问题可能集中在基础的1或2级的情况,因为这是最常见的版本。 接下来,用户需要Java的代码示例,特别是递归和动态规划两种方法。我需要确保提供的代码符合Java语法,并且正确实现算法。递归方法相对直接,基于斐波那契数列,即f(n) = f(n-1) + f(n-2),基准条件是f(1)=1,f(2)=2。但要注意递归可能存在重复计算的问题,这自然引出动态规划的优化。 动态规划方面,引用[1]和[5]提到自顶向下的备忘录法和自底向上的方法。自顶向下通常用递归加记忆化,而自底向上则是迭代方式,使用数组存储中间结果,避免重复计算。用户可能希望看到这两种动态规划的实现。不过,考虑到代码示例的简洁性,可能先展示基础递归,然后展示自底向上的动态规划,以及可能的备忘录优化。 我需要检查引用中的内容是否提供了具体的代码。引用[2]和[3]提到了思路,但没有给出完整的Java代码。因此,我需要根据这些思路自行编写正确的示例。例如,递归函数在n=1时返回1,n=2返回2,否则递归调用。动态规划则创建一个数组dp,其中dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2],初始化dp[1]和dp[2]。 另外,引用[5]提到动态规划的核心要素:最优子结构、状态转移方程、边界和重叠子问题。在青蛙台阶问题中,状态转移方程是f(n) = f(n-1) + f(n-2),边界条件是f(1)=1, f(2)=2,而重叠子问题确实存在,比如计算f(5)需要f(4)和f(3),而计算f(4)又需要f(3)和f(2),导致f(3)被多次计算。动态规划通过存储这些子问题的解来优化性能。 用户还可能关心时间复杂度和空间复杂度。递归方法的时间复杂度是O(2^n),而动态规划是O(n),因为每个子问题只计算一次。空间复杂度方面,递归的栈深度是O(n),而动态规划需要O(n)的数组空间,但可以进一步优化到O(1)如果只用变量存储前两个值。 最后,需要确保代码示例正确无误,并解释每一步的作用。例如,在动态规划中,循环从3开始到n,逐步填充dp数组。同时,提到可能的优化方法,比如空间优化,但保持示例简单易懂。 总结步骤: 1. 编写递归方法,解释基准条件和递归调用。 2. 编写动态规划方法,使用数组存储中间结果。 3. 对比两种方法的时间复杂度,强调动态规划的优势。 4. 可能提供进一步的优化建议,如空间优化到O(1)。 5. 确保代码符合Java语法,比如类和方法的结构。</think>### Java实现青蛙台阶算法 青蛙台阶问题是一个经典的动态规划问题,其核心是通过拆解子问题避免重复计算。以下是递归与动态规划两种实现方式: --- #### **1. 递归实现** 递归方法直接基于问题分解,但时间复杂度较高($O(2^n)$): ```java public class FrogJump { public static int jumpRecursive(int n) { if (n <= 0) return 0; if (n == 1) return 1; // 1级只有1种方式 if (n == 2) return 2; // 2级有两种方式:1+1或2 return jumpRecursive(n - 1) + jumpRecursive(n - 2); // 状态转移方程 } public static void main(String[] args) { System.out.println(jumpRecursive(5)); // 输出:8 } } ``` --- #### **2. 动态规划实现** 动态规划通过存储子问题解将时间复杂度优化到$O(n)$,空间复杂度$O(n)$: ```java public class FrogJump { public static int jumpDP(int n) { if (n <= 2) return n; int[] dp = new int[n + 1]; // 定义dp数组 dp[1] = 1; // 边界条件 dp[2] = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 状态转移方程 } return dp[n]; } public static void main(String[] args) { System.out.println(jumpDP(5)); // 输出:8 } } ``` --- #### **3. 动态规划空间优化** 进一步将空间复杂度降低到$O(1)$: ```java public static int jumpDPOptimized(int n) { if (n <= 2) return n; int prev1 = 1, prev2 = 2, result = 0; for (int i = 3; i <= n; i++) { result = prev1 + prev2; // 计算当前台阶的解 prev1 = prev2; // 更新前两个台阶的状态 prev2 = result; } return result; } ``` --- ### 关键分析 1. **递归问题**:直接但效率低,因重复计算相同子问题[^5]。 2. **动态规划**:通过“记住历史解”避免重复计算,是典型的自底向上方法[^1]。 3. **状态转移方程**:$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$,与斐波那契数列相同[^3]。 4. **边界条件**:$f(1)=1$(1级)、$f(2)=2$(2级)[^2]。 ---
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