跳台阶问题分析整理

一、变态跳台阶


题目描述


一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。




关于本题，前提是可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。
分析如下:
当target<=0,异常输入 直接return 0;
当target>=1,正常target输入：
f(0) = 1    表示从台阶底一次跳到第n级台阶
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) = f(1) + f(0)    //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) = f(2) + f(1) + f(0)
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 
     = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1) + f(0) 
具体说明： 
1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，
    那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)
    因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：
    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)    
6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
    可以得出：
    f(n) = 2*f(n-1)
    
7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：
              | 1       ,(n=0 ) 
f(n) =        | 1       ,(n=1 )
              | 2*f(n-1),(n>=2)


public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target <= 0) return 0;       
        else{
            int[] jump = new int[target + 1];            
            jump[1] = 1;                 
            for(int i = 2 ; i <= target ; i++){               
                jump[i] = 2 * jump[i - 1];
            }
            return jump[target];
        }
    }
}


前面是用常规的动态规划分析解题思路，当然了，还有一种针对本题的简便的解题思路：每个台阶都有跳与不跳两种情况（除了最后一个台阶），最后一个台阶必须跳，所以共有2的（n-1）次方中情况。

二、普通跳台阶



题目描述


一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target == 0) return 0;
        else if(target == 1) return 1;
        else if(target == 2) return 2;
        else{
           int[] jump = new int[target];
           jump[0] = 1;
           jump[1] = 2;
           for(int i = 2 ; i < target ; i++){
               jump[i] = jump[i - 1] + jump[i - 2];
           }
            return jump[target - 1];  
        }      
    }

}