12、数据降维与聚类算法的优化与实践

数据降维与聚类算法的优化与实践

1. 多维尺度分析算法概述

在数据处理中，多维尺度分析（MDS）是一种重要的技术，用于将高维数据映射到低维空间，以实现数据的可视化和降维。常见的MDS算法有经典多维尺度分析（CMDS）和基于地标点的稀疏多维尺度分析（LMDS）。

1.1 CMDS算法

CMDS算法通过基于QR分解的迭代方法进行谱分解，其时间复杂度为$O(N^3)$，这使得它在处理大规模数据时速度较慢。以下是CMDS算法的简要步骤：
|步骤|描述|
| ---- | ---- |
|1|输入数据距离矩阵|
|2|进行谱分解|
|3|输出低维嵌入结果|

1.2 LMDS算法

LMDS算法是为了提高CMDS的效率而提出的。它由四个主要步骤组成：
|步骤|描述|
| ---- | ---- |
|1|选择地标点|
|2|计算地标点之间的距离|
|3|计算其他点到地标点的距离|
|4|根据距离进行嵌入计算|

当地标点的内在维度与数据集的内在维度相等时，LMDS的坐标与CMDS的坐标一致。但如果地标点张成的是低维仿射子空间，LMDS将恢复数据点在该子空间上的正交投影。例如，在图中选择三个“+”表示的点作为地标点，它们张成的子空间是一维的（一条线），LMDS恢复的嵌入就是数据集在这条线上的投影。

LMDS的时间复杂度为$O(mnN + n^3)$，空间复杂度为$O(nN)$，相比之下，CMDS的时间复杂度为$O(N^3)$，空间复杂度为$O(N^2)$。

1.3 地标点选择算法