22、线性控制系统的稳定性、可控性与线性调节器问题

线性控制系统的稳定性、可控性与线性调节器问题

1. 稳定性与可控性基础

1.1 指数稳定性与可控性的定义

对于线性控制系统 $\dot{y} = Ay + Bu$，$y(0) = x$，若存在线性连续算子 $K : E \to U$，使得算子 $A_K = A + BK$（定义域 $D(A_K) = D(A)$）生成指数稳定的半群 $S_K(t)$，$t \geq 0$，则称该系统是指数稳定的。这里的算子 $K$ 可理解为反馈律，当 $u(t) = Ky(t)$ 时，系统变为 $\dot{y} = (A + BK)y$，$y(0) = x$，其解为 $y(t) = S_K(t)x$，$t \geq 0$。

1.2 可控性与稳定性的关系

• 定理 16.4 ：
  • (i) 零可控系统是指数稳定的 ：设 $u_x(\cdot)$ 是能在时间 $T_x > 0$ 内将 $x$ 转移到 0 的控制，且 $t > T_x$ 时 $u_x(t) = 0$。对应输出 $y_x(\cdot)$ 满足 $t \geq T_x$ 时 $y_x(t) = 0$，则 $J(x, u_x(\cdot)) = \int_{0}^{+\infty} (|y_x(t)|^2 + |u_x(t)|^2) dt < +\infty$。根据相关定理，存在非负连续算子 $\tilde{P}$，对于反馈控制 $\tilde{u}(t) = \tilde{K}\tilde{y}(t) = -B^*\tilde{P}\tilde{y}(t)$ 及对应解 $\tilde