19、线性系统与延迟系统的理论与应用

线性系统与延迟系统的理论与应用

1. 线性系统的积分表示

首先考虑一个在巴拿赫空间 $E$ 上的线性控制系统：
(\dot{y} = Ay + Bu)，(y(0) = x) （14.61）
这里假设算子 (A) 在 (E) 上生成一个算子半群 (S(t))（(t \geq 0)），(B) 是从巴拿赫空间 (U) 到 (E) 的有界线性算子。先研究 (U = E) 的情况，此时方程（14.61）变为：
(\dot{y} = Ay + f)，(y(0) = x) （14.62）
其中 (f) 是 (E) 值函数。

若连续函数 (y: [0, T] \to E) 满足：
- (y(0) = x)，且对于 (t \in [0, T])，(y(t) \in D(A))；
- (y) 在 ( [0, T]) 内任意 (t) 处可微，且 (\frac{dy}{dt}(t) = Ay(t) + f(t))，(t \in [0, T])。

则称 (y) 是方程（14.62）在 ([0, T]) 上的强解。

定理 14.9 ：假设 (x \in D(A))，(f(\cdot)) 是 ([0, T]) 上的连续函数，(y(\cdot)) 是方程（14.62）在 ([0, T]) 上的强解。那么
(y(t) = S(t)x + \int_{0}^{t} S(t - s)f(s) ds)，(t \in [0, T]) （14.63）

证明 ：固定 (t > 0) 和 (s \in (0, t))，由生成元的基本性质可