5、控制系统的可控性、可检测性与能量相关特性研究

控制系统的可控性、可检测性与能量相关特性研究

1. Hautus引理

Hautus引理在控制理论中有着广泛的应用。对于一个控制系统((A, B))，它的可控性有如下两个等价条件：
- 条件（i） ：对于每个(\lambda \in C)，矩阵([\lambda I - A, B])具有满秩。
- 条件（ii） ：矩阵([\lambda I - A, B])对于所有(\lambda \in \sigma(A))具有满秩。

下面来证明这两个条件与系统可控性的等价性：
- 正向证明 ：假设((A, B))是可控的，但对于某个(\lambda)，矩阵([\lambda I - A, B])的秩小于(n)。那么存在一个非零向量(p \neq 0)，使得对于所有(u_0, u_1 \in C^n)，有(\langle p, (\lambda I - A)u_1 + Bu_0\rangle = 0)。这等价于(\langle p, Au_1\rangle = \langle p, \lambda u_1\rangle)且(\langle p, Bu_0\rangle = 0)。可以进一步证明，对于所有(k = 0, 1, \cdots, n - 1)，(\langle p, A^kBu_k\rangle = \langle p, \lambda^kBu_k\rangle = 0)。这就意味着矩阵([A|B])的秩不可能为(n)，与系统可控矛盾。
- 反向证明 ：假设((A, B))不可控，根据相关定理，可以假设(A = \b