86、低布尔子代数与图灵的“儿童机器”探索

低布尔子代数与图灵的“儿童机器”探索

在数学和计算机科学的交叉领域中，布尔子代数的研究以及图灵关于智能机器的设想都有着重要的意义。下面我们将深入探讨低布尔子代数的相关定理和图灵的“儿童机器”概念。

低布尔子代数相关定理

在布尔子代数的研究中，有一系列重要的定理和结论。首先，对于某个命题，它在集合 $A$ 中是 $\Sigma_0^4$ 的，因此在 $A^{(4)}$ 中是可计算的。由于该命题等价于 $n$ 属于 $C^{(4)}$，所以有 $C^{(4)} \leq_T A^{(4)}$。

假设有一个可计算子代数 $D$ 满足 $(B, D) \cong (B, A)$，那么 $k$ 重 $A$ - 上确界的一致 $\Sigma_A^4$ 定义会转化为 $(B, D)$ 上 $k$ 重 $D$ - 上确界的一致 $\Sigma_D^4$ 定义，因为 $D$ 是可计算的，这实际上就是一个 $\Sigma_0^4$ 定义。由此可知，判断 $D$ 是否包含 $2n$ 重 $D$ - 上确界是 $\Sigma_0^4$ 的，这进而意味着 $C^{(4)} \leq_T \varnothing^{(4)}$，但我们选取的 $C$ 是非低 4 的，这就产生了矛盾。

下面是一个重要的定理：
定理 6 ：设 $c$ 是任意非低 3 的图灵度，那么存在可计算无原子布尔代数 $B$ 的一个布尔子代数 $A$，使得 $DgSp_B(A)$ 包含 $c$ 但不包含 $0$。
证明过程中，构造满足 $(B, D) \cong (B, A)$ 且 $\text{deg}(D) = c$ 的 $D$ 与定理 5 的证明类似，这仍然是