58、替换与强确定性瓷砖集：构建与应用

替换与强确定性瓷砖集：构建与应用

在平面镶嵌领域，替换规则和强确定性瓷砖集是两个重要的概念。替换规则能够生成平面的分层着色，而强确定性瓷砖集则为镶嵌的局部可检查性和可重构性提供了保障。本文将深入探讨如何将二者结合，为每个 2×2 替换规则关联一个强确定性瓷砖集。

基本定义

在深入探讨之前，我们需要明确一些基本概念：
- 瓷砖集 ：一个三元组 (τ, H, V)，其中 τ 是有限的瓷砖字母表，H 和 V 分别是表示兼容水平和垂直邻居的有限对集合。
- 镶嵌 ：一个映射 T : Z² → τ，将每个 Z² 中的单元格关联一个瓷砖，且每个瓷砖与其邻居在 H 和 V 规则下兼容。
- 周期性 ：如果存在平移向量 p ∈ Z²，使得对于所有 x ∈ Z²，都有 T(x + p) = T(x)，则称镶嵌 T 是周期性的。如果瓷砖集 τ 能镶嵌平面但不能周期性镶嵌，则称其为非周期性瓷砖集。
- 确定性 ：瓷砖集 τ 是 NE - 确定性的，如果对于所有瓷砖对 (tw, ts) ∈ τ²，最多存在一个瓷砖 tne ∈ τ 同时与 tw 东侧兼容且与 ts 北侧兼容。类似地，可以定义 NW、SE 和 SW - 确定性。如果瓷砖集同时是 NE、NW、SE 和 SW - 确定性的，则称其为强确定性瓷砖集。
- 子转移 ：ΣZ² 的一个拓扑封闭且平移不变的子集 Y 称为子转移。如果存在瓷砖集 τ 和字母投影 π : τ → Σ，使得 π(Xτ) = Y，则称子转移 Y 是可识别的。