56、局部归纳、可证全可计算函数及图灵对机制与书写的比较

局部归纳、可证全可计算函数及图灵对机制与书写的比较

局部归纳与可证全可计算函数

在数理逻辑的相关研究中，有关于局部归纳和可证全可计算函数的深入探讨。

首先，存在一个结构 (A)，满足 (A \models \forall x\exists y\psi(x, y, c)) ，并且公式 (\psi(x, y, c) \land \forall z < y\neg\psi(x, z, c)) 定义了一个从 (A) 到 (A) 的全非递减函数 (H)。还有一个 (\Sigma_F^0) 公式，记为 (H_z(x) = y)，用于定义 (H) 的迭代。由于 (A \models I\Sigma_F^1)，所以有 (A \models \forall x \forall z \exists y (H_z(x) = y))。

接着定义了一个 (\Pi_F^1) 公式 (\theta(u, v))：
[
u > t \lor \forall x \forall y_1 \left( H_{\tau_u}^0 (x + u + v) = y_1 \to \exists y \leq y_1 \phi_0(u, x, y, v) \right)
]
通过一系列推导可以证明 (A \models \theta(0, v)) 且 (A \models \forall u (\theta(u, v) \to \theta(u + 1, v)))。因为 (A \models I\Pi_F^1)（由于 (I\Sigma_F^1 \equiv I\Pi_F^1)），所以 (A \models \forall u \theta(u, b))，进而得出 (A \m