48、实数集的免疫性与密度层次结构探究

实数集的免疫性与密度层次结构探究

一、无限博弈与二阶算术相关结果

在二阶算术中，无限博弈的确定性强度有着特定的研究结果。相关信息可以通过如下表格呈现：
| 二阶算术子系统（从弱到强） | 贝尔空间中的博弈类 | 康托空间中的博弈类 |
| — | — | — |
|… |… |… |

这里的每一行都代表着某个公理与相应系统（如 RCA0，最后一行使用 Π1 3 - TI）上对应博弈的确定性等价。

二、实数集免疫性与密度层次结构研究

（一）研究背景与概述

免疫性的研究始于 1944 年，此后，不同学者对其进行了深入探索。例如，Demuth - Kuˇcera 研究了贝尔空间中闭集的免疫性，指出闭集的免疫性意味着它“远离稠密”；Binns 引入了多种闭集的超免疫性概念，用于对余可计算枚举（co - c.e.）闭集的难度进行分类；Cenzer - Kihara - Weber - Wu 开启了对闭集免疫性的系统研究；Higuchi - Kihara 阐明了“接近/远离稠密”这类概念对于研究实数集上非一致可计算性层次结构极为有用。

本研究引入了一个新的度理论不变量——层密度，它为康托空间的每个子集赋予一个值 n，以此来深入研究“接近稠密”的性质层次结构，揭示密度层次结构与二阶可计算性机制之间的相互作用，并继续探讨余可计算枚举闭集的图灵上闭包内部的结构。

（二）符号与约定

在研究中，使用了一系列特定的符号和约定：
1. 对于集合 X 和 Y，函数 f 从 X 到 Y 需满足 dom(f) ⊇ X 且 range(f) ⊆ Y。
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