27、图灵级数及其良序的深度剖析

图灵级数及其良序的深度剖析

1. 图灵级数与模态逻辑

哥德尔第二不完备性定理表明，任何足够强大且能编码语法的可靠递归理论都无法证明自身的一致性。因此，向这样的理论 $T$ 中添加其一致性陈述 $Con(T)$ 会得到一个更强的理论。图灵在其开创性论文中基于此思想，考虑了递归可靠基础理论 $T$ 的递归序数级数：
- $T_0 := T$；
- $T_{\alpha + 1} := T_{\alpha} + Con(T_{\alpha})$；
- 对于极限序数 $\lambda$，$T_{\lambda} := \bigcap_{\alpha < \lambda} T_{\alpha}$。

多模态可证性逻辑在描述图灵级数方面表现出色。这些逻辑具有模态词 $[n]$，可解释为“在初等算术 $EA$ 中使用所有真 $\Pi_n$ 句子可证”，简记为 $[n]_{EA}$。这里的 $EA$ 是初等算术，由后继、加法和乘法的递归方程、开放归纳以及指数运算的完全性公理公理化。

我们回顾可知，任何扩展 $EA$ 的 $\Sigma_1$ 可靠理论的可证性逻辑是哥德尔 - 洛布可证性逻辑 $GL$。在 $GL$ 中可以表达各种数学陈述，如哥德尔第二不完备性定理：$3\top \to 32\top$。有限图灵级数在 $GL$ 中可定义，因为 $T_n$ 可证等价于 $T + 3^n_T \top$。然而，仅使用一个模态算子的模态语言无法表达超限级数，但使用更强的可证性谓词提供了解决方案。

命题 1 指出，$T + \langle n + 1 \rangle_T \top$ 是 $T + { \langle n \rangle^k_T \top