FFT相关知识

FFT

参考链接

• 为什么要进行傅立叶变换
• Python科学计算——复杂信号FFT
  STFT可以简单的理解为窗形式的FFT
• PYTHON SCIPY 计算短时傅里叶变换（SHORT-TIME FOURIER TRANSFORMS)
• 短时傅里叶变换原理解
• Short Time Fourier Transform using Python and Numpy
• 1.4. Short-Time Fourier Transformation
• 公开课讲解STFT
• 频谱幅度值与原始信号幅度值之间的关系
• 直观解释FFT的变化过程以及fftshift:How to Interpret FFT results – complex DFT, frequency bins and FFTShift

以下两blog是验证傅里叶变换对频谱的分析作用

• 基于python的快速傅里叶变换FFT（一）
• 基于python的快速傅里叶变换FFT（二）

TIMIT原始数据未必是wav格式的文件，可能需要转换一下

暂时不理解的

为什么 FFT变换后幅值与时域幅值 不相等 为什么要除N/2???

未抽出时间来看的链接

• Understanding the FFT Algorithm
• Understanding the FFT Algorithm jupyter notebook版
• Fast Fourier Transform Example
• Digital Signal Processing 在线书籍
• 我所理解的快速傅里叶变换（FFT）：提到了几种窗函数的图
• Understanding The Discrete Fourier Transform
• FFT详解:赞比较多
• matlab fft example

FFT重要概念以及知识点

傅立叶原理：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、 振幅和相位。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法，该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

四种傅里叶变换形式 ：

• 非周期性连续信号 傅立叶变换（Fourier Transform）
• 周期性连续信号 傅立叶级数(Fourier Series)
• 非周期性离散信号 离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
• 周期性离散信号 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)
  在计算机中处理的是离散傅里叶变换，其他类型的更多的是在数学上推算。这里所说的傅里叶变换是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。
  傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
  对于一个长度为N的时域信号，实数傅里叶变换得到的结果是N/2个长度；复数傅里叶变换之后得到的长度是N。
  FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多 信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
  FFT中的一些要素：主要摘自为什么要进行傅立叶变换
• 一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。奈奎斯特采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍。
• 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
• 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。
• 信号长度M点，假设采样频率为Fs，采样点数为N。（我们会要求）做FFT之后，某点n（n从1开始）表示的频率为：$\frac{(n-1)Fs}{N}$；相邻谱线之间的距离是$\frac{Fs}{N}$，Fn所能分辨到频率为为$\frac{Fs}{N}$
• 在FFT中，信号长度为M，做N点FFT时，我们会要求N > M，多的部分用0补齐，如果N < M 就直接截断语音信号，numpy.fft.fft()和scipy.fftpack.fft效果是相同的。librosa的fft还没有实验，但估计都是一样的。
• 该点的模（$\sqrt{a^2+b^2}$）复数$z=a+bi$值除以$\frac{N}{2}$就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）； 该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。（在matlab、numpy.fft.fft以及scipy.fftpack.fft都是这样的）相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。
• 要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。
• 假设FFT之后某点n用复数$z=a+bi$表示，那么这个复数的模就是$An=\sqrt{a^2+b^2}$，相位是$Pn=atan2(b,a)$`，直流信号没有相位可言