梯度 方向导数 解析

最新推荐文章于 2025-10-18 16:40:43 发布
原创 最新推荐文章于 2025-10-18 16:40:43 发布 · 1.2w 阅读 · 15 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文介绍了如何利用偏导数计算方向导数，并详细解释了梯度的含义。梯度是一个向量，方向导数等于梯度与单位向量的点积，表示在特定方向上的最快变化率。在所有下降方向中，沿着梯度方向的变化最为显著。

 

利用偏导数计算方向导数

 

其中梯度定义：

gradf =

梯度是向量。

方向导数=梯度*单位向量

方向导数是数值， 梯度和单位向量相乘，是向量点积（参见前面的图）。

  • 方向导数 = cos(θ) × 梯度，因此，所有的下降方向中，梯度方向下降最多。θ为方向导数所取方向与梯度的夹角。

 

举例说明：z=f(x,y)  在(x0,y0)处的梯度为（3，4），即 

 

 

参考  http://xuxzmail.blog.163.com/blog/static/251319162010328103227654/

【深度学习】梯度和方向导数概念解析（代码基于Pytorch实现）
NJU phd 在读。
08-04 607
【深度学习】梯度和方向导数概念解析（代码基于Pytorch实现） 文章目录 1 方向导数 2 梯度 3 自动求导实现 4 梯度下降 4.1 概述 4.2 小批量梯度下降 5 总结 1 方向导数 方向导数的本质是一个数值，简单来说其定义为： 一个函数沿指定方向的变化率。 因此，构建方向导数需要有两个元素： 函数 指定方向 当然，与普通函数的导数类似，方向导数也不是百分之百存在的，需要函数满足在某点处可微，才能计算出该函数在该点的方向导数。 至于其物理含义，这里采用最常用的下山图来表
梯度、方向导数、点积与叉积的深入解析
最新发布
lal12345的博客
11-01 660
本文系统讲解了方向导数与梯度的概念及其应用。方向导数反映函数沿指定方向的变化率，梯度则指向函数增长最快的方向，其模等于最大方向导数。重点解析了三类典型题目：基础计算题（通过梯度与单位方向向量的点积求方向导数）、几何意义题（利用投影公式）和极值问题（方向导数的最大/最小值）。文章强调易错点如方向向量单位化和梯度计算准确性，并建议通过几何直观、固定解题模板和综合练习来掌握这一考研数学重要考点。典型例题展示了从梯度计算到方向导数求解的完整过程，体现了数学概念与实际解题的紧密结合。
多变量微积分笔记5——梯度与方向导数
weixin_30548917的博客
02-02 2066
　　梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。 　　梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。 　　在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 　　本篇涉及到的一些知识点可参考下面的链接： 向量：《线性代数笔记2—...
方向导数和梯度
thehunters的专栏
06-08 9893
考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的.例如，热空气要向冷的地方流动,气象学中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率.因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题.设 是xoy平面上以P0(x0,y0)为始点的一条射线,el=(cosα,cosβ)是与 同方向的单位向量.射线的参数方程为设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域U(P0)内有定义,P(x0+ tcosα,y0 + tcosβ)为上另一点,且P∈U(P0)如果函数增量f(x0+tcosα,Y0 +tcosβ)-f(x0,y
梯度Gradient详解
m0_64132509的博客
10-18 1176
Gradient梯度详解
梯度与方向导数的本质，及理解上的坑。
weixin_43721354的博客
06-20 4268
关于梯度和方向导数这两个基础概念，浪费了我挺多时间，概念其实不难。 但是，发现我之前一直没有理清楚一些基本概念，所以一直在坑里，不是特别明白。 这里把我之前的坑分享给大家。 要想理解梯度，和方向导数的本质。必须要搞清楚以下概念。几乎所有的老师都不提这块，我也是醉了。 曲面上过 P0P_{0}P0​ 点的： 方向 ⊂\subset⊂ 曲面定义域平面（超平面）; 方向是矢量。 方向导数 ⊂\subs...
【数学和算法】梯度和方向导数
热门推荐
u011754972的博客
09-11 1万+
如果不愿意看文字描述的，这里推荐一个视频 方向导数和梯度的直观理解。 什么是梯度？？ 可以这么想象一下，大地平面为XOY所在平面(z=0)，你现在处于山坡上的某点P(x,y,z),你怎样才能最快时间跑下山坡呢? 分析一下：假设你的速度v一直都是5m/s不变，这座山假设为一个圆锥型，跑下山坡就是Z=0。很明显，你站在P点有360°的方向可以跑，只有有180°的方向可以跑下山坡，但是这180°的每个方向跑下山坡的时间各不一样，你的直觉和经验告诉你，山顶和你所站的位置的连线，就是最快的路线。这条连线的方向就是梯度
数学基础0-全导数、方向导数、偏导数、梯度
m0_61878383的博客
10-09 3209
导数（derivative）是微积分学中的一个概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数的自变量在一点上产生一个增量ℎ时，函数输出值的增量与自变量增量ℎ的比值在ℎ趋于0时的极限如果存在，即为在处的导数，记作或。对于多元函数，过函数图像（以二元f(x,y)为例）上任意一点A可以作出无数条曲线。全导数：每条曲线都有自己过A点的导数，也就是过A点做该曲线的切线。
PDE.rar_PDE PPT_pde_方向导数
09-20
1. **方向导数和梯度.pdf** - 这个PDF文件很可能包含了方向导数的概念定义，以及它与梯度之间的关系。方向导数是衡量函数在特定方向上变化率的量，而梯度是函数在所有方向上的最大增益方向，两者在多元微积分和偏...
方向导数与梯度的数学原理及代码实现解析
本文以“方向导数与梯度解析[源码]”为题，系统性地讲解了从单变量导数到多变量函数中方向导数和梯度的演变过程，并通过理论推导与实例计算相结合的方式深入剖析其内在联系和实际意义。以下将围绕标题与描述内容，...
梯度与方向导数
piglite的专栏
06-07 1111
假设我们有一个函数 y = f(x)，其中 x 和 y 是实数。这个函数的 导数（derivative） 记为 f ′ (x) 或 dy dx。导数 f ′ (x) 代表 f(x) 在点 x 处的斜率。换句话说，它表明如何缩 放输入的小变化才能在输出获得相应的变化：f(x + ϵ) ≈ f(x) + ϵf′ (x)。 因此导数对于最小化一个函数很有用，因为它告诉我们如何更改 x 来略微地改 善 y。例如，我们知道对于足够小的 ϵ 来说，f(x − ϵsign(f ′ (x))) 是比 f(x) 小的。因 此
方向导数和梯度向量
一个搬运知识的笨小孩
12-12 4771
33.方向导数和梯度向量33.方向导数和梯度向量33.1 方向导数33.1.1 方向导数的性质33.2 梯度向量33.2.1 梯度的代数法则33.3 等高线的切线和梯度33.4 路径的链式法则 (关于向量值函数)33.5 曲线的切平面33.6 估计特定方向的变化33.7 线性化二元变量函数33.8 二元函数的全微分33.9 多元函数的全微分 33.方向导数和梯度向量 33.1 方向导数 例子： 33.1.1 方向导数的性质 例子： 33.2 梯度向量 例子： 33.2.1 梯度的代数
方向导数与梯度
Young_Fan
05-09 1万+
方向导数是一个值，梯度是一个向量。 方向导数 顾名思义，方向导数就是某个方向上的导数。 这里的方向什么是方向？ 这个方向是在二维的xy平面上的，而不是三维空间上的方向 函数在这个方向上的图像： 我们知道： 函数的点在这个方向上也是有切线的，其切线的斜率就是方向导数： 梯度 很显然，点不止一个方向，而是都有方向： 每个方向都是有方向导数的： ...
梯度 方向导数
Tomcat的专栏
05-05 946
基本概念 方向导数：是一个数；反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。 梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。 Ref:方向导数与梯度 疑问1 （上图的式子少了Δy） Ref:第七节 方向导数与梯度 答案就是“在点P(x,y)是可微分的”。可以看看全微分的定理： Ref:百度百科：全微分 ...
梯度和方向导数的理解
nihaoqiaoan的博客
10-15 2563
“曾经跳过去的问题，总有一天会回来找你。” 参考：https://www.cnblogs.com/key1994/p/11503840.html 简而言之： 方向导数代表下山的不同方向，但是与梯度关联时，是按某个（x0,y0）点来联系的。 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。 用自己的话有逻辑地去理解： 下山路上每个点都有很多方向，即每个点在不同方向L上都有一个方向导数的值。而方向导数取最大的那个方向L，就是梯度的方向。梯度是一个矢量，它的大小
一阶方向导数与梯度和方向向量的关系及其应用
慕羽★的博客
03-29 5459
梯度的本质还是一个向量，它的方向代表函数在该点处变化最快的方向，它的大小代表函数在该点处的最大变化率，那么把梯度向量分解到它的各个变量的方向上就可以得到函数在各个自变量方向上的变化率，如例子中的。因此，就很容易理解，梯度表示函数在某点处最大的变化率，而梯度与单位方向向量点积后，便是函数在该方向向量方向上的变化率了，若不是单位方向向量，则为函数在该方向向量方向上的变化量。注：一阶方向导数是指函数在某个点处沿着某个方向上的变化率，而梯度则是函数在某个点处的方向导数最大的方向，也就是函数变化率最大的方向。
评论 2
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值