多变量微积分笔记5——梯度与方向导数

　　梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

　　梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

　　在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

　　本篇涉及到的一些知识点可参考下面的链接：

1. 向量：《线性代数笔记2——向量（向量简介）》
2. 点积：《线性代数笔记3——向量2（点积）》
3. 平面和法向量：《线性代数笔记5——平面方程与矩阵》
4. 向量方程和直线的参数方程：《线性代数笔记6——直线和曲线的参数方程》

梯度的定义

　　如果w = w(x, y, z), x = x(t), y = y(t), z = z(t)，根据上篇介绍的链式法则：

 

　　如果设▽w 是一个综合了w所有偏导数的向量，dr/dt是w变化速率的向量（速度向量），即：

　　这样原式就可以简写为▽w和dr/dt的点积：

 

　　▽w就是梯度向量，简称梯度。对于函数w定义域上的任意x, y, z，都可以得到一个对应的梯度向量，所以也说▽w是w在某一点(x, y, x)上的梯度。由定义可以看到，梯度包含了偏导和导数的信息。

梯度垂直于等值面

　　梯度的一个重要性质是：如果令w是一个常数，则梯度向量垂直于原函数的等面值。

　　在平面直角坐标系中，对于圆的方程w(x, y) = x² + y² = C，w = C，在w上的任意一点(x, y)做梯度向量：

 

　　w⊥等值线,即对于任意(x, y)的梯度▽w，都有▽w⊥w(x, y)

　　对于多元函数也是如此，此时梯度是垂直于函