梯度 方向导数

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#函数

本文详细介绍了方向导数和梯度的基本概念及其相互之间的联系。方向导数表示函数在某一点沿特定方向的变化率，而梯度则指出了函数增长最快的方向，并且其模长代表了该方向上的最大变化率。

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基本概念

  • 方向导数：是一个数；反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。
  • 梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。

Ref:方向导数与梯度

疑问1

这里写图片描述
（上图的式子少了Δy）
Ref:第七节 方向导数与梯度

答案就是“在点P(x,y)是可微分的”。可以看看全微分的定理：
这里写图片描述
Ref:百度百科：全微分

疑问2

梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值。

这里写图片描述
Ref:第七节 方向导数与梯度

梯度 方向导数 解析
八千里路云和月
06-20 1万+
利用偏导数计算方向导数 其中梯度定义： gradf = 梯度是向量。 方向导数=梯度*单位向量 方向导数是数值， 梯度和单位向量相乘，是向量点积（参见前面的图）。 方向导数 = cos(θ) × 梯度，因此，所有的下降方向中，梯度方向下降最多。θ为方向导数所取方向与梯度的夹角。 举例说明：z=f(x,y) 在(x0,y0)处的梯度为（3，4）...
每日十分钟深度学习数学基础-详解偏导数、方向导数与梯度
weixin_49145300的博客
04-17 1229
θi1θi−α∂Jθ∂θiθi1​θi​−α∂θi​∂Jθ​(1)α\alphaα的含义(2)为什么梯度要乘一个负号一般的梯度下降算法的步骤为：1、给定待优化连续可微分的函数J（θ），学习率或步长a，以及一组初始值（真实值）2、计算待优化函数梯度3、更新迭代4、再次计算新的梯度5、计算向量的模来判断是否需要终止循环。
方向导数与梯度
10-24
在尝试理解诸如机器学习这样的跨学科领域时，需要考虑的主要问题是，理解这些技术需要多大的数学知识量和多高的数学知识水平。此问题的答案涉及多个维度，而且取决于个人的知识水平和兴趣。对机器学习的数学公式和理论发展的研究从未间断过，一些研究人员正在研究更高级的技术。
【数学和算法】梯度和方向导数
u011754972的博客
09-11 1万+
如果不愿意看文字描述的，这里推荐一个视频 方向导数和梯度的直观理解。 什么是梯度？？ 可以这么想象一下，大地平面为XOY所在平面(z=0)，你现在处于山坡上的某点P(x,y,z),你怎样才能最快时间跑下山坡呢? 分析一下：假设你的速度v一直都是5m/s不变，这座山假设为一个圆锥型，跑下山坡就是Z=0。很明显，你站在P点有360°的方向可以跑，只有有180°的方向可以跑下山坡，但是这180°的每个方向跑下山坡的时间各不一样，你的直觉和经验告诉你，山顶和你所站的位置的连线，就是最快的路线。这条连线的方向就是梯度
数学概念理解 - 梯度与方向导数
白话Python
10-30 2192
一.梯度 定义：设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量这向量称为函数=在点的梯度，记作，即= 性质：梯度的方向是函数值增大最快的方向。相应的，负梯度的方向是函数值减小最快的方向。=> 梯度下降法求函数极小值。 二.方向导数 定义：设函数在点的某一邻域内有...
梯度，方向导数，相关概念
u011939056的博客
02-23 796
1. http://blog.cvmarcher.com/posts/2015/06/27/gradient-descent/ 梯度下降法是求解神经网络的方法中最流行的一个，思想很简单，就是函数沿着梯度的方向下降的最快。通常来讲，我们在求解机器学习问题的时候，都会定义一个目标函数，然后基于这个目标函数又定义出损失函数，通过最小化损失函数来使得目标函数达到最优。那么在最小
高数书中的梯度方向导数的介绍
05-26
### 高等数学中梯度方向导数的详细介绍 #### 概述 本文将深入探讨高等数学中的一个重要概念——方向导数与梯度，并通过具体的数学推导来解释这一概念的含义及其应用。 #### 方向导数的概念 方向导数是在多元函数...
方向导数和梯度
thehunters的专栏
06-08 9755
考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的.例如，热空气要向冷的地方流动,气象学中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率.因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题.设 是xoy平面上以P0(x0,y0)为始点的一条射线,el=(cosα,cosβ)是与 同方向的单位向量.射线的参数方程为设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域U(P0)内有定义,P(x0+ tcosα,y0 + tcosβ)为上另一点,且P∈U(P0)如果函数增量f(x0+tcosα,Y0 +tcosβ)-f(x0,y
函数的梯度方向和切线方向_导数、方向导数与梯度
weixin_39801356的博客
01-17 6427
导数，方向导数，切线、梯度是从高中就开始接触的概念，然而对这几个概念的认识不清，困惑了我很长时间，下面我将以图文并茂的形式，对这几个概念做详细的解释。1， 导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果当Δx→0时， Δy与Δx之比极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处...
导数，梯度，偏导数，方向梯度
YnnuSL的博客
11-30 557
三年没看高数了，关于导数的一些概念有点记不清了，今天又重新复习。 导数 导数（英语：Derivative）是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近[1]。 定义：设有定义域和取值都在实数域中的函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)。若 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某个邻域内有定义，则当自变量 xxx 在 x0x_0x0​ 处取得增量 Δx\Delta xΔx（点 x0+Δxx_0+\
多变量微积分笔记5——梯度与方向导数
weixin_30548917的博客
02-02 2000
　　梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。 　　梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。 　　在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 　　本篇涉及到的一些知识点可参考下面的链接： 向量：《线性代数笔记2—...
梯度与方向导数
piglite的专栏
06-07 1058
假设我们有一个函数 y = f(x)，其中 x 和 y 是实数。这个函数的 导数（derivative） 记为 f ′ (x) 或 dy dx。导数 f ′ (x) 代表 f(x) 在点 x 处的斜率。换句话说，它表明如何缩 放输入的小变化才能在输出获得相应的变化：f(x + ϵ) ≈ f(x) + ϵf′ (x)。 因此导数对于最小化一个函数很有用，因为它告诉我们如何更改 x 来略微地改 善 y。例如，我们知道对于足够小的 ϵ 来说，f(x − ϵsign(f ′ (x))) 是比 f(x) 小的。因 此
方向导数 梯度
kyle1314608的博客
02-21 444
终于理解了方向导数与梯度 </h1> <div class="clear"></div> <div class="postBody"> 本文作者Key,博客园主页：https://home.cnblogs.com/u/key1994/ 本内容为...
深度学习知识点（1）：有关导数、偏导数、方向导数、梯度的基本概念问题
zhouge000的博客
04-02 4555
1、导数 导数反映的是函数y=f(x)在某一点处沿x轴正方向的变化率。 比如，在x=1处的导数是2。 导数是通过极限来定义的，某一点的导数=tanψ，只是前提是△x趋近于0，此时tanψ=tanα=该点导数，公式如下： 注：下图是高数中的一张经典图，用于区分导数微分的概念，基本看着这张图就能全部想起来。 解释一下，是函数f(x)在x轴上某一点处沿着x轴正方向的变化...
方向导数与梯度——学习笔记
热门推荐
qq_40707407的博客
04-27 3万+
方向导数和梯度在高等数学偏导数那一部分提到，两者相互关联，可能会弄混，简单来说方向导数是一个值而梯度是一个向量。了解梯度的概念可以在以后的机器学习或者深度学习模型优化用到梯度下降时更容易理解，接下来让我们看看一些关于方向导数和梯度的细节。 一、方向导数 对于多元函数，如果说偏导数表示的是多元函数在沿坐标轴的变化率，那么可以说方向导数是沿着任意一指定方向的变化率，不一定是沿着坐标...
梯度和方向导数的理解
nihaoqiaoan的博客
10-15 2525
“曾经跳过去的问题，总有一天会回来找你。” 参考：https://www.cnblogs.com/key1994/p/11503840.html 简而言之： 方向导数代表下山的不同方向，但是与梯度关联时，是按某个（x0,y0）点来联系的。 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。 用自己的话有逻辑地去理解： 下山路上每个点都有很多方向，即每个点在不同方向L上都有一个方向导数的值。而方向导数取最大的那个方向L，就是梯度的方向。梯度是一个矢量，它的大小
方向导数与梯度概念
a little progress every day
03-24 1716
一.方向导数 （1）方向导数是个数值。   二维空间情形： 我们把f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)的值Value1与PP1的距离value2的比值的极值叫做沿PP1的方向导数。 三维空间计算过程相似；   二.梯度 （1）梯度是一个向量。 （2）沿梯度方向的方向导数达到最大值； sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/8.7fangxian
梯度下降 方向导数
最新发布
03-25
### 梯度下降算法中方向导数的作用及计算方式 #### 方向导数的定义及其作用 方向导数表示函数沿某一特定方向的变化率。具体来说，在多维空间中，如果有一个可微函数 \( f(x_1, x_2, \dots, x_n) \)，那么它在某一点 \( P \) 处沿着单位向量 \( \vec{u} \) 的变化率称为该点处的方向导数[^2]。 方向导数的重要性在于它可以用来衡量目标函数在一个给定方向上的增减趋势。这为梯度下降提供了理论依据——通过找到使方向导数最小化的方向来实现最快速地下降[^3]。 #### 计算方向导数的方法 假设函数 \( f(x_1, x_2, \dots, x_n) \) 是连续可微的，则其在点 \( (x_1, x_2, \dots, x_n) \) 处沿单位向量 \( \vec{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n) \) 的方向导数可以由以下公式给出： \[ D_{\vec{u}}f(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x}) \cdot \vec{u} \] 其中： - \( \nabla f(\vec{x}) \) 表示函数 \( f \) 在点 \( \vec{x} \) 处的梯度； - \( \cdot \) 表示两个向量之间的点积运算。 因此，方向导数实际上是梯度与指定方向之间夹角余弦值的乘积。当方向与梯度相反时（即两者夹角为 \( 180^\circ \)），方向导数达到最小值，这意味着函数在此方向上减少得最快[^4]。 #### 梯度下降中的应用 在机器学习领域，尤其是训练神经网络模型时，通常会采用梯度下降法调整参数以最小化损失函数。此过程中利用了上述提到的方向导数概念：每次更新都朝着使得当前步长范围内损失函数值降低最多的方向前进。这一过程可以通过如下迭代公式描述： \[ \theta := \theta - \alpha \nabla_\theta J(\theta) \] 这里： - \( \theta \) 表示待优化的参数集合； - \( \alpha > 0 \) 称作学习速率，控制每一步移动的距离大小； - \( J(\theta) \) 则代表需要被极小化的成本或者误差函数[^5]。 这种策略确保了随着每一次更新操作，整体性能逐步改善直至收敛至局部最优解附近为止。 ```python def gradient_descent(theta, alpha, max_iterations, cost_function, grad_func): iteration = 0 while iteration < max_iterations: gradient = grad_func(theta) # Compute the gradient at current theta. theta -= alpha * gradient # Update parameters using negative of gradient. iteration += 1 # Increment counter after each update cycle. return theta # Return final set of optimized parameters upon completion. ```
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