基于YUV的色相调节（二）

拜阳

已于 2025-02-06 18:33:07 修改

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分类专栏：数字图像处理公式推导文章标签：线性代数图像处理

于 2025-02-06 18:25:37 首次发布

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量纲范围归一化
- 归一化因子： $U_m, V_m$
- 归一化因子： $U_{max}, V_{max}$

接上一篇：基于YUV的色相调节（一）

量纲范围归一化

正常情况下UV的量纲范围不一样，这对旋转而言不是个好事情，因为可能需要做一个椭圆形旋转，而实际上公式里的旋转矩阵是圆形的，所以可以考虑将UV的量纲范围设置成一样的，也就是各自乘以一个系数，旋转完毕后再除以相应的系数。

归一化因子： $U_m, V_m$

先给 $M_{RGB2YUV}$ 的第二行和第三行分别除以 $U_m，V_m$ ，旋转完毕后再乘回来。
（注：该方法事实上不能将UV真正归一化到相同的量纲范围）

即：

$\begin{aligned} M &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{V_m} \\[2ex] 1 & -\frac{W_B}{U_mW_G} & -\frac{W_R}{V_mW_G} \\[2ex] 1 & \frac{1}{U_m} & 0 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ U_m \\ V_m \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos{\theta} & -sin{\theta} \\ 0 & sin{\theta} & cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} W_R & W_G & W_B \\ -W_R & -W_G & (1-W_B) \\ (1-W_R) & -W_G & -W_B \end{bmatrix} \right) \\[8ex] &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{V_m} \\[2ex] 1 & -\frac{W_B}{U_mW_G} & -\frac{W_R}{V_mW_G} \\[2ex] 1 & \frac{1}{U_m} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} W_R & W_G & W_B \\ -U_mW_Rcos{\theta} - U_m(1-W_R)sin{\theta} & -U_mW_Gcos{\theta} + U_mW_Gsin{\theta} & U_m(1-W_B)cos{\theta} + U_mW_Bsin{\theta} \\ -V_mW_Rsin{\theta} + V_m(1-W_R)cos{\theta} & -V_mW_Gsin{\theta} - V_mW_Gcos{\theta} & V_m(1-W_B)sin{\theta} - V_mW_Bcos{\theta} \end{bmatrix} \\[8ex] \end{aligned}$

$\begin{aligned} m_{00} &= W_R + (1-W_R)cos{\theta} - W_Rsin{\theta} \\[2ex] m_{01} &= W_G - W_Gcos{\theta} - W_Gsin{\theta} \\[2ex] m_{02} &= W_B - W_Bcos{\theta} + (1-W_B)sin{\theta} \\[3ex] m_{10} &= W_R - W_Rcos{\theta}+\frac{W_B(1-W_R)+W_R^2}{W_G}sin{\theta} \\[3ex] m_{11} &= W_G + (1-W_G)cos{\theta} + (W_R - W_B)sin{\theta}\\[3ex] m_{12} &= W_B-W_Bcos{\theta} - \frac{W_B^2 + W_R(1-W_B)}{W_G}sin{\theta} \\[3ex] m_{20} &= W_R-W_Rcos{\theta} - (1-W_R)sin{\theta} \\[2ex] m_{21} &= W_G - W_Gcos{\theta} + W_Gsin{\theta} \\[2ex] m_{22} &= W_B + (1-W_B)cos{\theta} + W_B sin{\theta} \\[2ex] \end{aligned} \tag{17}$

在网上找了一圈发现，mozilla里面有个hue_rotate功能比较相似，并且是开源的。

网址：https://hg.mozilla.org/mozilla-central
代码文件路径：ROOT_FOLDER/gfx/wr/webrender/res/blend.glsl

其代码如下：

else if (op ==  FILTER_HUE_ROTATE) {
        float c = cos(amount);
        float s = sin(amount);
        color_mat = mat4(
            vec4(lumR + oneMinusLumR * c - lumR * s, lumR - lumR * c + 0.143 * s, lumR - lumR * c - oneMinusLumR * s, 0.0),
            vec4(lumG - lumG * c - lumG * s, lumG + oneMinusLumG * c + 0.140 * s, lumG - lumG * c + lumG * s, 0.0),
            vec4(lumB - lumB * c + oneMinusLumB * s, lumB - lumB * c - 0.283 * s, lumB + oneMinusLumB * c + lumB * s, 0.0),
            vec4(0.0, 0.0, 0.0, 1.0)
        );
        color_offset = vec4(0.0);
    }

注意mozilla这里的color_mat跟公式（17）比起来有个转置，除此之外一模一样。

归一化因子： $U_{max}, V_{max}$

上述归一化实际上不能将UV的范围归到相同的范围，上面的 $U_m, V_m$ 是我们自己定义的，而Rec.709中定义的常数是 $U_{max}, V_{max}$ ，使用 $U_{max}, V_{max}$ 能够将UV的范围真正归一化到 [-1, 1] 之间。

$\begin{aligned} M &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{V_m} \\[2ex] 1 & -\frac{W_B}{U_mW_G} & -\frac{W_R}{V_mW_G} \\[2ex] 1 & \frac{1}{U_m} & 0 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ U_{max} \\ V_{max} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos{\theta} & -sin{\theta} \\ 0 & sin{\theta} & cos{\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} W_R & W_G & W_B \\ -\frac{W_R}{1-W_B} & -\frac{W_G}{1-W_B} & 1 \\ 1 & -\frac{W_G}{1-W_R} & -\frac{W_B}{1-W_R} \end{bmatrix} \right) \\[8ex] &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1-W_R}{V_{max}} \\[2ex] 1 & -\frac{(1-W_B)W_B}{U_{max}W_G} & -\frac{(1-W_R)W_R}{V_{max}W_G} \\[2ex] 1 & \frac{1-W_B}{U_{max}} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} W_R & W_G & W_B \\[2ex] -\frac{U_{max}W_R}{1-W_B}cos{\theta} - U_{max}sin{\theta} & -\frac{U_{max}W_G}{1-W_B}cos{\theta} + \frac{U_{max}W_G}{1-W_R}sin{\theta} & U_{max}cos{\theta} + \frac{U_{max}W_B}{1-W_R}sin{\theta} \\[2ex] -\frac{V_{max}W_R}{1-W_B}sin{\theta} + V_{max}cos{\theta} & -\frac{V_{max}W_G}{1-W_B}sin{\theta} -\frac{V_{max}W_G}{1-W_R}cos{\theta} & V_{max}sin{\theta} - \frac{V_{max}W_B}{1-W_R}cos{\theta} \end{bmatrix} \\[8ex] \end{aligned}$

$\begin{aligned} m_{00} &= W_R + (1-W_R)cos{\theta} - \frac{1-W_R}{1-W_B}W_Rsin{\theta} \\[2ex] m_{01} &= W_G - W_Gcos{\theta} - \frac{1-W_R}{1-W_B}W_Gsin{\theta} \\[2ex] m_{02} &= W_B - W_Bcos{\theta} + (1-W_R)sin{\theta} \\[3ex] m_{10} &= W_R - W_Rcos{\theta}+\frac{(1-W_B)^2W_B+(1-W_R)W_R^2}{W_G(1-W_B)}sin{\theta} \\[3ex] m_{11} &= W_G + (1-W_G)cos{\theta} + \frac{(1-W_R)^2W_R-(1-W_B)^2W_B}{(1-W_R)(1-W_B)}sin{\theta}\\[3ex] m_{12} &= W_B-W_Bcos{\theta} - \frac{(1-W_B)W_B^2+(1-W_R)^2W_R}{W_G(1-W_R)}sin{\theta} \\[3ex] m_{20} &= W_R-W_Rcos{\theta} - (1-W_B)sin{\theta} \\[2ex] m_{21} &= W_G - W_Gcos{\theta} + \frac{1-W_B}{1-W_R}W_Gsin{\theta} \\[2ex] m_{22} &= W_B + (1-W_B)cos{\theta} + \frac{1-W_B}{1-W_R}W_B sin{\theta} \\[2ex] \end{aligned} \tag{18}$