求逆序数对个数(微软2010年笔试题)

本文介绍了如何计算一个数组中的逆序数对个数,包括两种方法:冒泡法和归并法。冒泡法的时间复杂度为O(n^2),而归并法的时间复杂度为O(nlogn),更优。通过实例展示了这两种方法的实现过程。

题目:

在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序数对。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。如{2,4,3,1}中,2和1,4和3,4和1,3和1是逆序数对,因此整个数组的逆序数对个数为4,现在给定一数组,要求统计出该数组的逆序数对个数。

解法一:冒泡法

类似于冒泡排序,假设数组长度为n,设置一个计数count,从i=0到i=n-1进行遍历,如果符合逆序数对条件,则将count加1。代码如下:

public static void main(String[] args) {
		int[] array = {2,4,3,1};
		int count = method(array);
		System.out.println("逆序数对个数为:" + coun
<think>我们面临的问题是大数据中逆序对数量的统计。逆序对的定义是:在序列中,如果存在下标i<j且a_i>a_j,则(a_i, a_j)构成一个逆序对。 常见的解决方案是使用归并排序的思想,因为在归并排序的过程中,我们可以方便地统计逆序对的数量。归并排序将数组分成两半,分别排序后再合并。在合并过程中,当右半部分的元素被选入合并数组时,说明左半部分剩余的所有元素都大于该右半部分元素,因此可以统计逆序对。 具体步骤: 1. 使用分治法,将数组分为左右两部分。 2. 递归地对左右两部分进行排序并统计逆序对数量(左半部分内部的逆序对+右半部分内部的逆序对)。 3. 在合并过程中,当左半部分的元素大于右半部分的某个元素时,则左半部分中从当前指针到末尾的所有元素都与该右半部分元素构成逆序对(因为左半部分已经有序,且当前左半部分指针之后的元素都大于等于当前元素)。 注意:数据范围可能很大,所以我们要使用long long来存储逆序对数量,因为逆序对数量可能超过int范围。 根据引用[1]中的代码,我们注意到它是用C语言实现的,并且使用了全局变量ans来记录逆序对数量。在合并过程中,当右半部分的元素被放入合并数组时,逆序对数量增加mid-i+1(因为左半部分从i到mid的元素都大于当前右半部分的元素)。 我们将实现一个C++版本,使用long long来存储逆序对数量,并避免使用全局变量(可以使用引用传递)。 代码实现思路: 函数原型:long long mergeSort(vector<int>& arr, vector<int>& temp, int left, int right); 步骤: - 如果left>=right,返回0。 - 计算mid = (left+right)/2。 - 递归计算左半部分逆序对:leftInversions = mergeSort(arr, temp, left, mid); - 递归计算右半部分逆序对:rightInversions = mergeSort(arr, temp, mid+1, right); - 合并过程并计算跨越左右的逆序对:mergeInversions = merge(arr, temp, left, mid, right); - 总逆序对 = leftInversions + rightInversions + mergeInversions; 合并函数merge的设计: - 使用两个指针i和j分别指向左半部分和右半部分的起始位置。 - 使用一个临时数组temp(提前分配好)来存放合并后的结果。 - 逆序对计数:当arr[i] <= arr[j]时,将arr[i]放入temp,i++;当arr[i] > arr[j]时,将arr[j]放入temp,同时逆序对计数增加(mid - i + 1),然后j++。 注意:由于我们使用递归,为了避免频繁创建临时数组,我们在主函数中一次性分配一个临时数组,然后在归并排序中重复使用。 另外,我们也可以使用迭代法(非递归)实现归并排序来统计逆序对,但递归方法更直观。 下面我们给出C++代码实现:</think>### 逆序对统计算法(C++实现) 逆序对统计的经典解法是使用**归并排序算法**,在归并过程中高效计算逆序对数量。算法核心思想是分治法,时间复杂度为 $O(n \log n)$,可处理大数据($n \leq 10^6$)。 #### 算法原理 1. **分治策略**:将数组递归分成两半 2. **合并统计**:在合并两个有序子数组时: - 当右子数组元素小于左子数组元素时 - 左子数组剩余元素均与该右元素构成逆序对 - 逆序对数量增加 `mid - i + 1` #### C++代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; long long merge(vector<int>& arr, vector<int>& temp, int left, int mid, int right) { int i = left, j = mid + 1, k = left; long long inv_count = 0; while (i <= mid && j <= right) { if (arr[i] <= arr[j]) { temp[k++] = arr[i++]; } else { temp[k++] = arr[j++]; inv_count += (mid - i + 1); // 核心统计逻辑 } } while (i <= mid) temp[k++] = arr[i++]; while (j <= right) temp[k++] = arr[j++]; for (i = left; i <= right; i++) arr[i] = temp[i]; return inv_count; } long long mergeSort(vector<int>& arr, vector<int>& temp, int left, int right) { long long inv_count = 0; if (left < right) { int mid = left + (right - left) / 2; inv_count += mergeSort(arr, temp, left, mid); inv_count += mergeSort(arr, temp, mid + 1, right); inv_count += merge(arr, temp, left, mid, right); } return inv_count; } long long countInversions(vector<int>& arr) { int n = arr.size(); vector<int> temp(n); return mergeSort(arr, temp, 0, n - 1); } int main() { // 示例:处理10^6规模数据 vector<int> data = {3, 1, 2, 5, 4}; // 实际使用时替换为大数据集 cout << "逆序对数量: " << countInversions(data) << endl; return 0; } ``` #### 关键特性 1. **高效性**:$O(n \log n)$ 时间复杂度,可处理 $10^6$ 规模数据 2. **空间优化**:使用单一临时数组避免重复分配 3. **大数支持**:使用 `long long` 存储结果(逆序对数量可能达 $n^2$ 量级) 4. **原地排序**:原始数组会被排序(若需保留原数组需提前拷贝) #### 大数据处理要点 1. **输入优化**:使用快速IO接口 ```cpp ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); ``` 2. **内存管理**:预分配内存避免动态分配开销 3. **非递归实现**:避免递归深度限制(可选实现) > 示例输入 `[3,1,2,5,4]` 输出逆序对数量为 **3**((3,1)(3,2)(5,4))[^1] ### 相关问题 1. 如何优化归并排序的空间复杂度? 2. 是否存在 $O(n)$ 时间复杂度的逆序对统计算法? 3. 如何处理超过内存限制的超大规模数据? 4. 如何修改算法统计特定条件的逆序对(如 $a_i > 2a_j$)? 5. 树状数组和线段树在逆序对统计中的实现差异? [^1]: 逆序对定义参考经典问题 [LUOGU1908] 逆序对,核心算法基于分治策略实现高效统计。
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