【线性基 && 求异或和最大】SGU - 275 To xor or not to xor

本文介绍了一种解决最大异或和问题的方法,利用线性基的概念,将问题转化为求一组数的最大无关集,并通过代码实现了解决方案。

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Step1 Problem:

给你n个数,你可以选取若干个数,使得异或和最大,输出最大异或和。
数据范围:
1<=n<=100, 0 <= a[i] <= 1e18.
例:
Input:
3
11 9 5
Output:
14

Step2 Ideas:

把别人的理解综合贴了过来
线性基:就是把若干个整数,看成 n 维 01 向量(通常 n 不会超过 64,即 long long 的范围),然后求这些向量的一个极大无关组。需要注意的一点是,对于这里的 01 向量,只有异或运算。
对于一个数集V,它的线性基β,数集V能异或出来的结果,线性基β也能做到。
线性基的求法Sengxian’s Blog这样求出来的线性基,如果第i位有值,那么其他数的二进制第i位都是0
这题的结果:将线性基中所有向量异或起来

Step3 Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int Max = 62;
ll a[150], b[150];
void cal(int n)
{
    memset(b, 0, sizeof(b));
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = Max; j >= 0; j--) {//数的二进制最大有多少位,就有多少维
            if((a[i]>>j)&1) {
                if(b[j]) a[i] ^= b[j];
                else {
                    b[j] = a[i];
                    for(int k = j-1; k >= 0; k--) if(b[k] && b[j]>>k&1) b[j] ^= b[k];
                    for(int k = j+1; k <= Max; k++) if(b[k]>>j&1) b[k] ^= b[j];
                    break;
                }
            }
        }
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);
        cal(n);//求解线性基
        ll ans = 0;
        for(int i = 0; i <= Max; i++)
        {
            if((b[i]>>i)&1) ans ^= b[i];
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}
### 线性基在求最大异或中的作用 #### 异或运算原理 异或运算是二进制位上的逻辑运算,遵循以下规则:两个相同比特的结果为 `0`,不同则为 `1`。例如,`1 XOR 1 = 0` `1 XOR 0 = 1`。由于其特殊的性质——交换律、结合律以及自反性(任何数与自己异或结果为 `0`),它成为许多算法问题的核心工具之一[^2]。 #### 线性基的作用 线性基是一种能够有效处理一组整数间相互关系的数据结构,尤其适用于涉及异或操作的问题。它的主要特性如下: - 它是一个最小化的集合,其中每个元素都无法通过其余成员的异或组合生成。 - 这种独特属性确保了原集中所有可能产生的异或值都可以由线性基内的有限数量项重新构建出来[^1]。 这些特点使线性基非常适合用来解答关于最大者寻找特定条件下最优解等问题,比如本案例中的“最大异或”。 #### 使用原因分析 为了获得最大异或,我们需要考虑的是如何挑选合适的子集使得最终得到的整体效果最佳化。然而直接枚举所有的可能性通常是不可行的因为时间复杂度太高(O(2^n))。此时引入线性基就显得尤为重要因为它提供了以下几个优势: 1. **减少候选数目**: 利用线性独立原则筛选掉那些可以通过已有选定向量合成的新向量从而大大降低搜索空间大小; 2. **保持原有价值范围不变**: 即便进行了压缩转换过程仍能保证原来数值体系所能表达的一切潜在结果得以保留下来[^3]; 3. **便于查找极值点**: 当完成了上述准备工作之后就可以很方便地依据高位优先的原则逐步试探直至定位全局最优点为止[^4]. 综上所述,借助于线性基不仅可以显著提升效率而且还能保障准确性因此成为了此类挑战的理想解决方案。 ```python class LinearBasis: def __init__(self): self.basis = [0]*64 def insert(self,x): for i in reversed(range(64)): if x&(1<<i): if not self.basis[i]: self.basis[i]=x return True else: x^=self.basis[i] return False def get_max_xor(self): res=0 for b in self.basis[::-1]: if(res^b)>res: res=res^b return res # Example Usage lb = LinearBasis() for val in [9,8,7,6]: lb.insert(val) print(lb.get_max_xor()) # Output should be the maximum xor sum achievable from these numbers. ```
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