【线性基 && 求异或和最大】SGU - 275 To xor or not to xor

最新推荐文章于 2023-10-12 16:46:58 发布

笑对这个世界的志贵

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分类专栏：线性基

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本文介绍了一种解决最大异或和问题的方法，利用线性基的概念，将问题转化为求一组数的最大无关集，并通过代码实现了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Step1 Problem:

给你n个数，你可以选取若干个数，使得异或和最大，输出最大异或和。
数据范围：
1<=n<=100, 0 <= a[i] <= 1e18.
例：
Input:
3
11 9 5
Output:
14

Step2 Ideas:

把别人的理解综合贴了过来
线性基：就是把若干个整数，看成 n 维 01 向量（通常 n 不会超过 64，即 long long 的范围），然后求这些向量的一个极大无关组。需要注意的一点是，对于这里的 01 向量，只有异或运算。
对于一个数集V，它的线性基β，数集V能异或出来的结果，线性基β也能做到。
线性基的求法：Sengxian’s Blog这样求出来的线性基，如果第i位有值，那么其他数的二进制第i位都是0
这题的结果：将线性基中所有向量异或起来

Step3 Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int Max = 62;
ll a[150], b[150];
void cal(int n)
{
    memset(b, 0, sizeof(b));
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = Max; j >= 0; j--) {//数的二进制最大有多少位，就有多少维
            if((a[i]>>j)&1) {
                if(b[j]) a[i] ^= b[j];
                else {
                    b[j] = a[i];
                    for(int k = j-1; k >= 0; k--) if(b[k] && b[j]>>k&1) b[j] ^= b[k];
                    for(int k = j+1; k <= Max; k++) if(b[k]>>j&1) b[k] ^= b[j];
                    break;
                }
            }
        }
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);
        cal(n);//求解线性基
        ll ans = 0;
        for(int i = 0; i <= Max; i++)
        {
            if((b[i]>>i)&1) ans ^= b[i];
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}