【树形DP】ZOJ - 3949 Edge to the Root

最新推荐文章于 2019-04-15 18:49:00 发布

笑对这个世界的志贵

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树形dp

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本文介绍了一种使用树形动态规划解决特定树结构中最短距离问题的方法。通过连边变化来计算从树的根节点到其它节点的最短路径总和，详细解释了算法流程，并给出了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Step1 Problem:

给出一颗根为 1 的树，每条边边长为 1，请你从根连一条边到某个点，使得根到各点距离的总和最小，求这个最小距离。
数据范围：
1<=n<=2e5

Step2 Involving:

树形DP

Step3 Ideas:

假设 1 到 x 连边，受影响的只有 1 和 x 中点往下的点。
例如：一条链长度为 n，给它们按顺序 1 到 n 编号，1 和 n 连边，受影响的只有 (1+n)/2+1 点和往下的点，我们称 (1+n)/2+1 为 1 到 n 的中点。
我们需要求 1 和其他所有点连边的距离和变化值，然后求变化值最大。
假设 u 是 f 的孩子。
我们从 1 和 u 连边，变化到 1 和 f 连边
f 子树所有结点距离都减少了 1
1 到 f 的中点子树所有结点距离都增加了1（ f 子树所有结点除外）
那么我们只要预处理出，每个子树的孩子数 siz[]。
1 和 u 连边变化量为 now
1 和 f 连边变化量为 now - siz[st[cnt]] + (siz[st[(cnt+1)/2 + 1]] - siz[st[cnt]]);// st[i] 是 i 编号对应的那个结点

Step4 Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 2e5+100;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
vector<int> Map[N];
int head[N], cnt;
int siz[N], dep[N], st[N];
ll ans;
void dfs1(int u, int f)//预处理出子树孩子数（包括自身），求出最大距离
{
    siz[u] = 1; dep[u] = dep[f] + 1;
    ans += dep[u];
    for(int i = 0; i < Map[u].size(); i++)
    {
        int to = Map[u][i];
        if(to != f)
        {
            dfs1(to, u);
            siz[u] += siz[to];
        }
    }
}
ll Min;
void dfs2(int u, int f, ll now)//求出最大变化量
{
    st[++cnt] = u;
    ll now1 = now;
    if(cnt > 2)
    {
        now1 = now - siz[st[cnt]] + (siz[st[(cnt+1)/2 + 1]] - siz[st[cnt]]);
        Min = min(Min, now1);
    }
    for(int i = 0; i < Map[u].size(); i++)
    {
        int to = Map[u][i];
        if(to != f)
        {
            dfs2(to, u, now1);
            cnt--;
        }
    }
}
int main()
{
    int T, n, u, v;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; i++) Map[i].clear();
        memset(head, -1, sizeof(head));
        cnt = 0;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            scanf("%d %d", &u, &v);
            Map[u].push_back(v);
            Map[v].push_back(u);
        }
        dep[0] = -1; cnt = ans = Min = 0;
        dfs1(1, 0);
        dfs2(1, 0, 0);
        cout << ans+Min << endl;
    }
    return 0;
}