HDU 6069 Counting Divisors

最新推荐文章于 2021-08-09 20:41:35 发布

baymax520

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分类专栏：思考题文章标签：素数区间筛

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本文解析了一道关于计算指定范围内整数的除数数量的算法题，介绍了使用素数分解的方法，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Counting Divisors

Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 524288/524288 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3798 Accepted Submission(s): 1385

Problem Description

In mathematics, the function

d(n) denotes the number of divisors of positive integer

n.

For example,

d(12)=6 because

1,2,3,4,6,12 are all

12's divisors.

In this problem, given

l,r and

k, your task is to calculate the following thing :

(\sum i = l r d (i k)) mod 998244353

Input

The first line of the input contains an integer

T(1≤T≤15), denoting the number of test cases.

In each test case, there are

3 integers

l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107).

Output

For each test case, print a single line containing an integer, denoting the answer.

Sample Input

  3 1 5 1 1 10 2 1 100 3
 

Sample Output

  10 48 2302
 

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 4

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思路：先预处理找出小于1e6的素数，然后枚举这些素数，用一个数组num存储[l,r]之间的数，找出[l,r]区间内能顾整除这些素数的数（只需要找出区间中第一个能整除某个素数的数，接下来不断递增这个素数的大小，就能找出所有区间内能够整除这个素数的数了），并不断更新num数组，最终将区间内的数都通过唯一分解定理分解。留意num数组中那些不为1的元素，不为1意味着剩余了一个大素数，需要再乘（1+k）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int maxn=1e6+5;
int prime[maxn],vis[maxn],tot;
long long l,r,k,num[maxn],a[maxn];
void init()
{
    tot=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            vis[i]=1;
            prime[tot++]=i;
           // printf("%d\n",i);
            for(int j=2;j*i<maxn;j++)
                vis[j*i]=1;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int t,i;
    long long sum;
   // printf("111");
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld %lld %lld",&l,&r,&k);
        //将[l,r]中的数赋值给num数组，数组a存储其因数个数
        for(i=0;i<=r-l;i++)
        {
            num[i]=i+l;
            a[i]=1;
        }
        for(i=0;i<tot;i++)
        {

            long long temp=((l/prime[i])+(l%prime[i]?1:0))*prime[i];//找出[l,r]中第一个能整除此素数的数
            for(long long j=temp;j<=r;j+=prime[i])
            {
                int cnt=0;
                while(num[j-l]%prime[i]==0)
                {
                    cnt++;
                    num[j-l]/=prime[i];
                }
                a[j-l]=(a[j-l]*((1+k*cnt)%mod))%mod;//别忘了取模
            }
        }
        sum=0;
        //遍历num数组，不为1的话意味着还剩一个大素数，需要再处理
        for(i=0;i<=r-l;i++)
        {
            if(num[i]!=1)
                a[i]=(a[i]*(1+k))%mod;
            sum=(sum+a[i])%mod;
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}