21、高效邻域编码：区间图与置换图的深入解析

高效邻域编码：区间图与置换图的深入解析

在图论领域，区间图和置换图有着独特的性质和广泛的应用。本文将围绕这两种图的邻域编码、线性度以及广度优先搜索等方面展开详细探讨。

1. 图的置换模型

图的置换模型是连接两条给定平行线的一组线段，并且这些线段与图 (G) 的顶点集存在一一映射关系。当且仅当图 (G) 中的顶点 (x) 和 (y) 对应的线段相交时，这两个顶点之间存在边（如图 1(c) 所示）。若一个图 (G) 存在这样的置换模型，那么它就是置换图。即使要求线段的端点两两不同，置换图的类别也保持不变。

我们用 (\pi_1) 和 (\pi_2) 分别表示顶点在第一条和第二条线上端点顺序所诱导的顶点顺序。在图 (G) 中，顶点 (x) 和 (y) 相邻的充要条件是 ((\pi_1(y) - \pi_1(x)) \times (\pi_2(y) - \pi_2(x)) < 0)，也就是说 (x) 和 (y) 在两个线性顺序中的相对顺序不同。将图 (G) 的每个顶点 (x) 与 ((\pi_1(x), \pi_2(x))) 关联起来，就可以得到图 (G) 的 (O(n)) 表示，并且能在 (O(1)) 时间内判断顶点的邻接关系。我们将 (\pi_1(x)) 和 (\pi_2(x)) 称为顶点 (x) 的端点，以此来识别顶点 (x) 及其对应的线段。

2. 区间图和置换图的无界封闭线性度

我们的目标是证明区间图和置换图的连续性和线性度（包括开放和封闭）是无界的。由于这四个参数之间存在一定的关系，我们将从封闭线性度的情况来推导这个结果，并给出其正式定义。

定义 1 ：图 (G = (