64、信号处理中的框架构造与应用

信号处理中的框架构造与应用

1. 平移框架

数字信号处理严重依赖于信号采样，即按规则间隔对函数进行采样，并从这些样本中重建信号的能力。广义上，样本对应于函数/信号评估/测量的结果。采样操作通常可建模为函数/信号在预定义元素上的投影，规则采样则对应于将该元素平移到规则间隔的位置。

平移框架定义为：对于固定函数 (g(t))（(a > 0)），通过操作 ({T_{na}g(t)} {n\in Z}) 得到的 (L^2(R)) 框架。若 ({T {na}g(t)} {n\in Z}) 是具有界 (A) 和 (B) 的框架，则需满足：
[aA \leq \sum {k\in Z} \left|\hat{g}\left(f + \frac{k}{a}\right)\right| \leq aB]
对于 (f \in R - \left{f \in R : \sum_{k\in Z} \left|\hat{g}\left(f + \frac{k}{a}\right)\right| = 0\right})，其中 (\hat{g}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t)e^{j2\pi ft}dt) 是 (g(t)) 的傅里叶变换。

以香农采样定理为例，设时间有限带宽函数 (x(t)) 以 (1/T) 的速率用脉冲串采样，信号带宽为 (W)。若 (T < \frac{1}{2W})，则可使用下式重建信号：
[x(t) = \sum_{n} x(nT) \frac{\sin\left((t - nT)\frac{\pi}{T}\right)}{(t - nT)\frac{\pi}{T}